Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18673 / 19346
↖ ↑ ↗
← S 30.921076°
E 25.147705°		 ← 1 048.01 m → S 30.921076°
E 25.158691°		 →
↑
1 047.97 m
↓
↑
1 047.97 m
↓
S 30.930501°
E 25.147705°		 ← 1 047.91 m →
1 098 230 m²		 S 30.930501°
E 25.158691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569869995117188 y=0.590408325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569869995117188 × 215)
    floor (0.569869995117188 × 32768)
    floor (18673.5)     		tx = 18673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590408325195312 × 215)
    floor (0.590408325195312 × 32768)
    floor (19346.5)     		ty = 19346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18673 / 19346 ti = "15/18673/19346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18673/19346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18673 ÷ 215
    18673 ÷ 32768     		x = 0.569854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19346 ÷ 215
    19346 ÷ 32768     		y = 0.59039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569854736328125 × 2 - 1) × π
    0.13970947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43891025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.567956386698425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43891025} λ = 0.43891025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567956386698425))-π/2
    2×atan(0.566682335730889)-π/2
    2×0.515560867898861-π/2
    1.03112173579772-1.57079632675     		φ = -0.53967459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43891025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53967459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.921076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18673 KachelY 19346 0.43891025 -0.53967459 25.147705 -30.921076
    Oben rechts KachelX + 1 18674 KachelY 19346 0.43910200 -0.53967459 25.158691 -30.921076
    Unten links KachelX 18673 KachelY + 1 19347 0.43891025 -0.53983908 25.147705 -30.930501
    Unten rechts KachelX + 1 18674 KachelY + 1 19347 0.43910200 -0.53983908 25.158691 -30.930501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53967459--0.53983908) × R
    0.000164490000000073 × 6371000     		dl = 1047.96579000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53967459--0.53983908) × R
    0.000164490000000073 × 6371000     		dr = 1047.96579000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43891025-0.43910200) × cos(-0.53967459) × R
    0.000191749999999991 × 0.857875940941814 × 6371000     		do = 1048.01492108515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43891025-0.43910200) × cos(-0.53983908) × R
    0.000191749999999991 × 0.857791405021955 × 6371000     		du = 1047.91164868742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53967459)-sin(-0.53983908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857875940941814-0.857791405021955)×R²
    abs(0.43910200-0.43891025)×8.453591985913e-05×R²
    0.000191749999999991×8.453591985913e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.453591985913e-05×40589641000000     		ar = 1098229.67421373m²