Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18672 / 14028
↖ ↑ ↗
← N 25.045792°
E 25.136719°		 ← 1 106.71 m → N 25.045792°
E 25.147705°		 →
↑
1 106.83 m
↓
↑
1 106.83 m
↓
N 25.035838°
E 25.136719°		 ← 1 106.80 m →
1 224 994 m²		 N 25.035838°
E 25.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569839477539062 y=0.428115844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569839477539062 × 215)
    floor (0.569839477539062 × 32768)
    floor (18672.5)     		tx = 18672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428115844726562 × 215)
    floor (0.428115844726562 × 32768)
    floor (14028.5)     		ty = 14028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18672 / 14028 ti = "15/18672/14028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18672/14028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18672 ÷ 215
    18672 ÷ 32768     		x = 0.56982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14028 ÷ 215
    14028 ÷ 32768     		y = 0.4281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56982421875 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451757342019409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43871851} λ = 0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451757342019409))-π/2
    2×atan(1.57107066948329)-π/2
    2×1.00396393257347-π/2
    2.00792786514694-1.57079632675     		φ = 0.43713154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43713154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.045792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18672 KachelY 14028 0.43871851 0.43713154 25.136719 25.045792
    Oben rechts KachelX + 1 18673 KachelY 14028 0.43891025 0.43713154 25.147705 25.045792
    Unten links KachelX 18672 KachelY + 1 14029 0.43871851 0.43695781 25.136719 25.035838
    Unten rechts KachelX + 1 18673 KachelY + 1 14029 0.43891025 0.43695781 25.147705 25.035838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43713154-0.43695781) × R
    0.000173729999999983 × 6371000     		dl = 1106.83382999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43713154-0.43695781) × R
    0.000173729999999983 × 6371000     		dr = 1106.83382999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43871851-0.43891025) × cos(0.43713154) × R
    0.000191739999999996 × 0.905969729688246 × 6371000     		do = 1106.71046176755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43871851-0.43891025) × cos(0.43695781) × R
    0.000191739999999996 × 0.906043263303556 × 6371000     		du = 1106.80028863338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43713154)-sin(0.43695781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905969729688246-0.906043263303556)×R²
    abs(0.43891025-0.43871851)×7.35336153097066e-05×R²
    0.000191739999999996×7.35336153097066e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.35336153097066e-05×40589641000000     		ar = 1224994.29388687m²