Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1867 / 932
↖ ↑ ↗
← N 69.534518°
W 15.908203°		 ← 3 417.06 m → N 69.534518°
W 15.820312°		 →
↑
3 419.51 m
↓
↑
3 419.51 m
↓
N 69.503765°
W 15.908203°		 ← 3 421.97 m →
11 693 050 m²		 N 69.503765°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4559326171875 y=0.2276611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4559326171875 × 212)
    floor (0.4559326171875 × 4096)
    floor (1867.5)     		tx = 1867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2276611328125 × 212)
    floor (0.2276611328125 × 4096)
    floor (932.5)     		ty = 932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1867 / 932 ti = "12/1867/932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1867/932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1867 ÷ 212
    1867 ÷ 4096     		x = 0.455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 932 ÷ 212
    932 ÷ 4096     		y = 0.2275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27765052} λ = -0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71192255923145))-π/2
    2×atan(5.5396014582723)-π/2
    2×1.3922013016105-π/2
    2.78440260322101-1.57079632675     		φ = 1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1867 KachelY 932 -0.27765052 1.21360628 -15.908203 69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 1868 KachelY 932 -0.27611654 1.21360628 -15.820312 69.534518
    Unten links KachelX 1867 KachelY + 1 933 -0.27765052 1.21306955 -15.908203 69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 1868 KachelY + 1 933 -0.27611654 1.21306955 -15.820312 69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21360628-1.21306955) × R
    0.000536730000000096 × 6371000     		dl = 3419.50683000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21360628-1.21306955) × R
    0.000536730000000096 × 6371000     		dr = 3419.50683000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(1.21360628) × R
    0.00153397999999999 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 3417.05653939184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(1.21306955) × R
    0.00153397999999999 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 3421.9704246716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21360628)-sin(1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.350145822534387)×R²
    abs(-0.27611654--0.27765052)×0.000502802826908233×R²
    0.00153397999999999×0.000502802826908233×6371000²
    0.00153397999999999×0.000502802826908233×40589641000000     		ar = 11693049.9877977m²