Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1867 / 859
↖ ↑ ↗
← N 71.663663°
W 15.908203°		 ← 3 074.53 m → N 71.663663°
W 15.820312°		 →
↑
3 076.75 m
↓
↑
3 076.75 m
↓
N 71.635993°
W 15.908203°		 ← 3 079.01 m →
9 466 437 m²		 N 71.635993°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4559326171875 y=0.2098388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4559326171875 × 212)
    floor (0.4559326171875 × 4096)
    floor (1867.5)     		tx = 1867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2098388671875 × 212)
    floor (0.2098388671875 × 4096)
    floor (859.5)     		ty = 859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1867 / 859 ti = "12/1867/859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1867/859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1867 ÷ 212
    1867 ÷ 4096     		x = 0.455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 859 ÷ 212
    859 ÷ 4096     		y = 0.209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209716796875 × 2 - 1) × π
    0.58056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8239031567439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27765052} λ = -0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8239031567439))-π/2
    2×atan(6.19599525503856)-π/2
    2×1.41078159948557-π/2
    2.82156319897114-1.57079632675     		φ = 1.25076687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25076687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.663663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1867 KachelY 859 -0.27765052 1.25076687 -15.908203 71.663663
    Oben rechts KachelX + 1 1868 KachelY 859 -0.27611654 1.25076687 -15.820312 71.663663
    Unten links KachelX 1867 KachelY + 1 860 -0.27765052 1.25028394 -15.908203 71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 1868 KachelY + 1 860 -0.27611654 1.25028394 -15.820312 71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25076687-1.25028394) × R
    0.000482929999999993 × 6371000     		dl = 3076.74702999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25076687-1.25028394) × R
    0.000482929999999993 × 6371000     		dr = 3076.74702999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(1.25076687) × R
    0.00153397999999999 × 0.314594521912658 × 6371000     		do = 3074.5280407939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(1.25028394) × R
    0.00153397999999999 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 3079.00771477746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25076687)-sin(1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314594521912658-0.315052894995122)×R²
    abs(-0.27611654--0.27765052)×0.000458373082464214×R²
    0.00153397999999999×0.000458373082464214×6371000²
    0.00153397999999999×0.000458373082464214×40589641000000     		ar = 9466436.61396m²