Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1867 / 857
↖ ↑ ↗
← N 71.718882°
W 15.908203°		 ← 3 065.59 m → N 71.718882°
W 15.820312°		 →
↑
3 067.83 m
↓
↑
3 067.83 m
↓
N 71.691293°
W 15.908203°		 ← 3 070.05 m →
9 411 543 m²		 N 71.691293°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4559326171875 y=0.2093505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4559326171875 × 212)
    floor (0.4559326171875 × 4096)
    floor (1867.5)     		tx = 1867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2093505859375 × 212)
    floor (0.2093505859375 × 4096)
    floor (857.5)     		ty = 857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1867 / 857 ti = "12/1867/857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1867/857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1867 ÷ 212
    1867 ÷ 4096     		x = 0.455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 857 ÷ 212
    857 ÷ 4096     		y = 0.209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209228515625 × 2 - 1) × π
    0.58154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82697111831958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27765052} λ = -0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82697111831958))-π/2
    2×atan(6.21503351980356)-π/2
    2×1.41126347935693-π/2
    2.82252695871387-1.57079632675     		φ = 1.25173063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25173063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.718882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1867 KachelY 857 -0.27765052 1.25173063 -15.908203 71.718882
    Oben rechts KachelX + 1 1868 KachelY 857 -0.27611654 1.25173063 -15.820312 71.718882
    Unten links KachelX 1867 KachelY + 1 858 -0.27765052 1.25124910 -15.908203 71.691293
    Unten rechts KachelX + 1 1868 KachelY + 1 858 -0.27611654 1.25124910 -15.820312 71.691293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25173063-1.25124910) × R
    0.000481530000000063 × 6371000     		dl = 3067.8276300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25173063-1.25124910) × R
    0.000481530000000063 × 6371000     		dr = 3067.8276300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(1.25173063) × R
    0.00153397999999999 × 0.313679549755533 × 6371000     		do = 3065.58603018125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(1.25124910) × R
    0.00153397999999999 × 0.314136740024525 × 6371000     		du = 3070.05414454462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25173063)-sin(1.25124910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313679549755533-0.314136740024525)×R²
    abs(-0.27611654--0.27765052)×0.000457190268992047×R²
    0.00153397999999999×0.000457190268992047×6371000²
    0.00153397999999999×0.000457190268992047×40589641000000     		ar = 9411543.40973639m²