Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1867 / 2661
↖ ↑ ↗
← S 47.338823°
W 15.908203°		 ← 6 622.78 m → S 47.338823°
W 15.820312°		 →
↑
6 619.02 m
↓
↑
6 619.02 m
↓
S 47.398349°
W 15.908203°		 ← 6 615.31 m →
43 811 596 m²		 S 47.398349°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4559326171875 y=0.6497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4559326171875 × 212)
    floor (0.4559326171875 × 4096)
    floor (1867.5)     		tx = 1867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6497802734375 × 212)
    floor (0.6497802734375 × 4096)
    floor (2661.5)     		ty = 2661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1867 / 2661 ti = "12/1867/2661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1867/2661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1867 ÷ 212
    1867 ÷ 4096     		x = 0.455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2661 ÷ 212
    2661 ÷ 4096     		y = 0.649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27765052} λ = -0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940330222947022))-π/2
    2×atan(0.390498862379631)-π/2
    2×0.372289003385326-π/2
    0.744578006770651-1.57079632675     		φ = -0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1867 KachelY 2661 -0.27765052 -0.82621832 -15.908203 -47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 1868 KachelY 2661 -0.27611654 -0.82621832 -15.820312 -47.338823
    Unten links KachelX 1867 KachelY + 1 2662 -0.27765052 -0.82725725 -15.908203 -47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 1868 KachelY + 1 2662 -0.27611654 -0.82725725 -15.820312 -47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82621832--0.82725725) × R
    0.0010389300000001 × 6371000     		dl = 6619.02303000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82621832--0.82725725) × R
    0.0010389300000001 × 6371000     		dr = 6619.02303000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(-0.82621832) × R
    0.00153397999999999 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 6622.77721437564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27765052--0.27611654) × cos(-0.82725725) × R
    0.00153397999999999 × 0.676897180367001 × 6371000     		du = 6615.3070597665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82621832)-sin(-0.82725725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.676897180367001)×R²
    abs(-0.27611654--0.27765052)×0.000764367631940988×R²
    0.00153397999999999×0.000764367631940988×6371000²
    0.00153397999999999×0.000764367631940988×40589641000000     		ar = 43811596.2825832m²