Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1867 / 1851
↖ ↑ ↗
← S 80.956099°
E148.183594°		 ← 3 072.46 m → S 80.956099°
E148.359375°		 →
↑
3 067.83 m
↓
↑
3 067.83 m
↓
S 80.983688°
E148.183594°		 ← 3 063.16 m →
9 411 505 m²		 S 80.983688°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911865234375 y=0.904052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911865234375 × 211)
    floor (0.911865234375 × 2048)
    floor (1867.5)     		tx = 1867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904052734375 × 211)
    floor (0.904052734375 × 2048)
    floor (1851.5)     		ty = 1851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1867 / 1851 ti = "11/1867/1851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1867/1851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1867 ÷ 211
    1867 ÷ 2048     		x = 0.91162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1851 ÷ 211
    1851 ÷ 2048     		y = 0.90380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58629161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90380859375 × 2 - 1) × π
    -0.8076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53720422309033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58629161} λ = 2.58629161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53720422309033))-π/2
    2×atan(0.0790872011620241)-π/2
    2×0.0789229260692746-π/2
    0.157845852138549-1.57079632675     		φ = -1.41295047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58629161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41295047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.956099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1867 KachelY 1851 2.58629161 -1.41295047 148.183594 -80.956099
    Oben rechts KachelX + 1 1868 KachelY 1851 2.58935957 -1.41295047 148.359375 -80.956099
    Unten links KachelX 1867 KachelY + 1 1852 2.58629161 -1.41343200 148.183594 -80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 1868 KachelY + 1 1852 2.58935957 -1.41343200 148.359375 -80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41295047--1.41343200) × R
    0.000481530000000063 × 6371000     		dl = 3067.8276300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41295047--1.41343200) × R
    0.000481530000000063 × 6371000     		dr = 3067.8276300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58629161-2.58935957) × cos(-1.41295047) × R
    0.00306796000000009 × 0.157191209669962 × 6371000     		do = 3072.45516519709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58629161-2.58935957) × cos(-1.41343200) × R
    0.00306796000000009 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 3063.15984477703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41295047)-sin(-1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157191209669962-0.156715647755291)×R²
    abs(2.58935957-2.58629161)×0.000475561914670214×R²
    0.00306796000000009×0.000475561914670214×6371000²
    0.00306796000000009×0.000475561914670214×40589641000000     		ar = 9411504.80917205m²