Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1867 / 1363
↖ ↑ ↗
← N 75.984200°
W 97.954102°		 ← 1 183.46 m → N 75.984200°
W 97.910156°		 →
↑
1 183.92 m
↓
↑
1 183.92 m
↓
N 75.973553°
W 97.954102°		 ← 1 184.34 m →
1 401 644 m²		 N 75.973553°
W 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22796630859375 y=0.16644287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22796630859375 × 213)
    floor (0.22796630859375 × 8192)
    floor (1867.5)     		tx = 1867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16644287109375 × 213)
    floor (0.16644287109375 × 8192)
    floor (1363.5)     		ty = 1363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1867 / 1363 ti = "13/1867/1363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1867/1363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1867 ÷ 213
    1867 ÷ 8192     		x = 0.2279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1363 ÷ 213
    1363 ÷ 8192     		y = 0.1663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1663818359375 × 2 - 1) × π
    0.667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09618474658582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70962159} λ = -1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09618474658582))-π/2
    2×atan(8.13507326344692)-π/2
    2×1.44848539818765-π/2
    2.8969707963753-1.57079632675     		φ = 1.32617447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32617447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.984200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1867 KachelY 1363 -1.70962159 1.32617447 -97.954102 75.984200
    Oben rechts KachelX + 1 1868 KachelY 1363 -1.70885460 1.32617447 -97.910156 75.984200
    Unten links KachelX 1867 KachelY + 1 1364 -1.70962159 1.32598864 -97.954102 75.973553
    Unten rechts KachelX + 1 1868 KachelY + 1 1364 -1.70885460 1.32598864 -97.910156 75.973553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32617447-1.32598864) × R
    0.000185829999999942 × 6371000     		dl = 1183.92292999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32617447-1.32598864) × R
    0.000185829999999942 × 6371000     		dr = 1183.92292999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70962159--1.70885460) × cos(1.32617447) × R
    0.000766990000000023 × 0.242189456618018 × 6371000     		do = 1183.45715467273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70962159--1.70885460) × cos(1.32598864) × R
    0.000766990000000023 × 0.24236975008597 × 6371000     		du = 1184.3381574941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32617447)-sin(1.32598864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242189456618018-0.24236975008597)×R²
    abs(-1.70885460--1.70962159)×0.000180293467951731×R²
    0.000766990000000023×0.000180293467951731×6371000²
    0.000766990000000023×0.000180293467951731×40589641000000     		ar = 1401643.58584387m²