Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18666 / 13783
↖ ↑ ↗
← N 27.459539°
E 25.070801°		 ← 1 084.01 m → N 27.459539°
E 25.081787°		 →
↑
1 084.03 m
↓
↑
1 084.03 m
↓
N 27.449790°
E 25.070801°		 ← 1 084.10 m →
1 175 142 m²		 N 27.449790°
E 25.081787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569656372070312 y=0.420639038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569656372070312 × 215)
    floor (0.569656372070312 × 32768)
    floor (18666.5)     		tx = 18666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420639038085938 × 215)
    floor (0.420639038085938 × 32768)
    floor (13783.5)     		ty = 13783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18666 / 13783 ti = "15/18666/13783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18666/13783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18666 ÷ 215
    18666 ÷ 32768     		x = 0.56964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13783 ÷ 215
    13783 ÷ 32768     		y = 0.420623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56964111328125 × 2 - 1) × π
    0.1392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43756802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420623779296875 × 2 - 1) × π
    0.15875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498735503647064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43756802} λ = 0.43756802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498735503647064))-π/2
    2×atan(1.6466377862232)-π/2
    2×1.02502784960953-π/2
    2.05005569921906-1.57079632675     		φ = 0.47925937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43756802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47925937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.459539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18666 KachelY 13783 0.43756802 0.47925937 25.070801 27.459539
    Oben rechts KachelX + 1 18667 KachelY 13783 0.43775977 0.47925937 25.081787 27.459539
    Unten links KachelX 18666 KachelY + 1 13784 0.43756802 0.47908922 25.070801 27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 18667 KachelY + 1 13784 0.43775977 0.47908922 25.081787 27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47925937-0.47908922) × R
    0.000170150000000036 × 6371000     		dl = 1084.02565000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47925937-0.47908922) × R
    0.000170150000000036 × 6371000     		dr = 1084.02565000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43756802-0.43775977) × cos(0.47925937) × R
    0.000191749999999991 × 0.887336686985907 × 6371000     		do = 1084.00532478689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43756802-0.43775977) × cos(0.47908922) × R
    0.000191749999999991 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 1084.10115882211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47925937)-sin(0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887336686985907-0.887415134068556)×R²
    abs(0.43775977-0.43756802)×7.84470826495909e-05×R²
    0.000191749999999991×7.84470826495909e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.84470826495909e-05×40589641000000     		ar = 1175141.5229169m²