Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18666 / 13483
↖ ↑ ↗
← N 30.344436°
E 25.070801°		 ← 1 054.28 m → N 30.344436°
E 25.081787°		 →
↑
1 054.34 m
↓
↑
1 054.34 m
↓
N 30.334954°
E 25.070801°		 ← 1 054.38 m →
1 111 620 m²		 N 30.334954°
E 25.081787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569656372070312 y=0.411483764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569656372070312 × 215)
    floor (0.569656372070312 × 32768)
    floor (18666.5)     		tx = 18666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411483764648438 × 215)
    floor (0.411483764648438 × 32768)
    floor (13483.5)     		ty = 13483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18666 / 13483 ti = "15/18666/13483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18666/13483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18666 ÷ 215
    18666 ÷ 32768     		x = 0.56964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13483 ÷ 215
    13483 ÷ 32768     		y = 0.411468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56964111328125 × 2 - 1) × π
    0.1392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43756802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411468505859375 × 2 - 1) × π
    0.17706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.556259783191132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43756802} λ = 0.43756802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.556259783191132))-π/2
    2×atan(1.74413683560421)-π/2
    2×1.05020331871132-π/2
    2.10040663742264-1.57079632675     		φ = 0.52961031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43756802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52961031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.344436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18666 KachelY 13483 0.43756802 0.52961031 25.070801 30.344436
    Oben rechts KachelX + 1 18667 KachelY 13483 0.43775977 0.52961031 25.081787 30.344436
    Unten links KachelX 18666 KachelY + 1 13484 0.43756802 0.52944482 25.070801 30.334954
    Unten rechts KachelX + 1 18667 KachelY + 1 13484 0.43775977 0.52944482 25.081787 30.334954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52961031-0.52944482) × R
    0.00016548999999999 × 6371000     		dl = 1054.33678999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52961031-0.52944482) × R
    0.00016548999999999 × 6371000     		dr = 1054.33678999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43756802-0.43775977) × cos(0.52961031) × R
    0.000191749999999991 × 0.863004006285304 × 6371000     		do = 1054.27956698532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43756802-0.43775977) × cos(0.52944482) × R
    0.000191749999999991 × 0.863087599531434 × 6371000     		du = 1054.38168777583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52961031)-sin(0.52944482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863004006285304-0.863087599531434)×R²
    abs(0.43775977-0.43756802)×8.35932461302757e-05×R²
    0.000191749999999991×8.35932461302757e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.35932461302757e-05×40589641000000     		ar = 1111619.57180875m²