Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18664 / 14058
↖ ↑ ↗
← N 24.746832°
E 25.048828°		 ← 1 109.45 m → N 24.746832°
E 25.059814°		 →
↑
1 109.51 m
↓
↑
1 109.51 m
↓
N 24.736853°
E 25.048828°		 ← 1 109.54 m →
1 230 997 m²		 N 24.736853°
E 25.059814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569595336914062 y=0.429031372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569595336914062 × 215)
    floor (0.569595336914062 × 32768)
    floor (18664.5)     		tx = 18664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429031372070312 × 215)
    floor (0.429031372070312 × 32768)
    floor (14058.5)     		ty = 14058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18664 / 14058 ti = "15/18664/14058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18664/14058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18664 ÷ 215
    18664 ÷ 32768     		x = 0.569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14058 ÷ 215
    14058 ÷ 32768     		y = 0.42901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569580078125 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42901611328125 × 2 - 1) × π
    0.1419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446004914065002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43718452} λ = 0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446004914065002))-π/2
    2×atan(1.56205914257505)-π/2
    2×1.0013550061881-π/2
    2.00271001237619-1.57079632675     		φ = 0.43191369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43191369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.746832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18664 KachelY 14058 0.43718452 0.43191369 25.048828 24.746832
    Oben rechts KachelX + 1 18665 KachelY 14058 0.43737627 0.43191369 25.059814 24.746832
    Unten links KachelX 18664 KachelY + 1 14059 0.43718452 0.43173954 25.048828 24.736853
    Unten rechts KachelX + 1 18665 KachelY + 1 14059 0.43737627 0.43173954 25.059814 24.736853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43191369-0.43173954) × R
    0.00017415000000004 × 6371000     		dl = 1109.50965000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43191369-0.43173954) × R
    0.00017415000000004 × 6371000     		dr = 1109.50965000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43718452-0.43737627) × cos(0.43191369) × R
    0.000191749999999991 × 0.908166324264957 × 6371000     		do = 1109.45162725024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43718452-0.43737627) × cos(0.43173954) × R
    0.000191749999999991 × 0.908239211340386 × 6371000     		du = 1109.54066896241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43191369)-sin(0.43173954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908166324264957-0.908239211340386)×R²
    abs(0.43737627-0.43718452)×7.28870754295174e-05×R²
    0.000191749999999991×7.28870754295174e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.28870754295174e-05×40589641000000     		ar = 1230996.6860732m²