Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18662 / 22695
↖ ↑ ↗
← S 56.794862°
E 25.026856°		 ← 669.02 m → S 56.794862°
E 25.037842°		 →
↑
668.96 m
↓
↑
668.96 m
↓
S 56.800878°
E 25.026856°		 ← 668.91 m →
447 506 m²		 S 56.800878°
E 25.037842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569534301757812 y=0.692611694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569534301757812 × 215)
    floor (0.569534301757812 × 32768)
    floor (18662.5)     		tx = 18662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692611694335938 × 215)
    floor (0.692611694335938 × 32768)
    floor (22695.5)     		ty = 22695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18662 / 22695 ti = "15/18662/22695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18662/22695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18662 ÷ 215
    18662 ÷ 32768     		x = 0.56951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22695 ÷ 215
    22695 ÷ 32768     		y = 0.692596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56951904296875 × 2 - 1) × π
    0.1390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43680103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.38519287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.2101190940087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43680103} λ = 0.43680103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2101190940087))-π/2
    2×atan(0.298161768035137)-π/2
    2×0.289769491067863-π/2
    0.579538982135727-1.57079632675     		φ = -0.99125734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43680103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.026856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99125734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.794862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18662 KachelY 22695 0.43680103 -0.99125734 25.026856 -56.794862
    Oben rechts KachelX + 1 18663 KachelY 22695 0.43699278 -0.99125734 25.037842 -56.794862
    Unten links KachelX 18662 KachelY + 1 22696 0.43680103 -0.99136234 25.026856 -56.800878
    Unten rechts KachelX + 1 18663 KachelY + 1 22696 0.43699278 -0.99136234 25.037842 -56.800878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99125734--0.99136234) × R
    0.000105000000000022 × 6371000     		dl = 668.955000000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99125734--0.99136234) × R
    0.000105000000000022 × 6371000     		dr = 668.955000000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43680103-0.43699278) × cos(-0.99125734) × R
    0.000191750000000046 × 0.547638258241714 × 6371000     		do = 669.016391069874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43680103-0.43699278) × cos(-0.99136234) × R
    0.000191750000000046 × 0.547550400126254 × 6371000     		du = 668.909060147597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99125734)-sin(-0.99136234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547638258241714-0.547550400126254)×R²
    abs(0.43699278-0.43680103)×8.78581154598601e-05×R²
    0.000191750000000046×8.78581154598601e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.78581154598601e-05×40589641000000     		ar = 447505.960520668m²