Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18662 / 14052
↖ ↑ ↗
← N 24.806682°
E 25.026856°		 ← 1 108.92 m → N 24.806682°
E 25.037842°		 →
↑
1 109 m
↓
↑
1 109 m
↓
N 24.796708°
E 25.026856°		 ← 1 109.01 m →
1 229 838 m²		 N 24.796708°
E 25.037842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569534301757812 y=0.428848266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569534301757812 × 215)
    floor (0.569534301757812 × 32768)
    floor (18662.5)     		tx = 18662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428848266601562 × 215)
    floor (0.428848266601562 × 32768)
    floor (14052.5)     		ty = 14052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18662 / 14052 ti = "15/18662/14052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18662/14052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18662 ÷ 215
    18662 ÷ 32768     		x = 0.56951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14052 ÷ 215
    14052 ÷ 32768     		y = 0.4288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56951904296875 × 2 - 1) × π
    0.1390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43680103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    0.142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.447155399655884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43680103} λ = 0.43680103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447155399655884))-π/2
    2×atan(1.56385730329134)-π/2
    2×1.00187729645055-π/2
    2.0037545929011-1.57079632675     		φ = 0.43295827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43680103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.026856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43295827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.806682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18662 KachelY 14052 0.43680103 0.43295827 25.026856 24.806682
    Oben rechts KachelX + 1 18663 KachelY 14052 0.43699278 0.43295827 25.037842 24.806682
    Unten links KachelX 18662 KachelY + 1 14053 0.43680103 0.43278420 25.026856 24.796708
    Unten rechts KachelX + 1 18663 KachelY + 1 14053 0.43699278 0.43278420 25.037842 24.796708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43295827-0.43278420) × R
    0.000174069999999971 × 6371000     		dl = 1108.99996999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43295827-0.43278420) × R
    0.000174069999999971 × 6371000     		dr = 1108.99996999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43680103-0.43699278) × cos(0.43295827) × R
    0.000191750000000046 × 0.907728557743918 × 6371000     		do = 1108.91683448613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43680103-0.43699278) × cos(0.43278420) × R
    0.000191750000000046 × 0.907801576442003 × 6371000     		du = 1109.00603699369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43295827)-sin(0.43278420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907728557743918-0.907801576442003)×R²
    abs(0.43699278-0.43680103)×7.3018698084848e-05×R²
    0.000191750000000046×7.3018698084848e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.3018698084848e-05×40589641000000     		ar = 1229838.20207172m²