Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18660 / 22683
↖ ↑ ↗
← S 56.722594°
E 25.004883°		 ← 670.31 m → S 56.722594°
E 25.015869°		 →
↑
670.23 m
↓
↑
670.23 m
↓
S 56.728622°
E 25.004883°		 ← 670.20 m →
449 222 m²		 S 56.728622°
E 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569473266601562 y=0.692245483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569473266601562 × 215)
    floor (0.569473266601562 × 32768)
    floor (18660.5)     		tx = 18660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692245483398438 × 215)
    floor (0.692245483398438 × 32768)
    floor (22683.5)     		ty = 22683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18660 / 22683 ti = "15/18660/22683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18660/22683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18660 ÷ 215
    18660 ÷ 32768     		x = 0.5694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22683 ÷ 215
    22683 ÷ 32768     		y = 0.692230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5694580078125 × 2 - 1) × π
    0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.38446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20781812282693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43641753} λ = 0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20781812282693))-π/2
    2×atan(0.298848619580652)-π/2
    2×0.290400147714969-π/2
    0.580800295429937-1.57079632675     		φ = -0.98999603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98999603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.722594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18660 KachelY 22683 0.43641753 -0.98999603 25.004883 -56.722594
    Oben rechts KachelX + 1 18661 KachelY 22683 0.43660928 -0.98999603 25.015869 -56.722594
    Unten links KachelX 18660 KachelY + 1 22684 0.43641753 -0.99010123 25.004883 -56.728622
    Unten rechts KachelX + 1 18661 KachelY + 1 22684 0.43660928 -0.99010123 25.015869 -56.728622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98999603--0.99010123) × R
    0.000105200000000027 × 6371000     		dl = 670.229200000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98999603--0.99010123) × R
    0.000105200000000027 × 6371000     		dr = 670.229200000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(-0.98999603) × R
    0.000191749999999991 × 0.548693179600399 × 6371000     		do = 670.305124407113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(-0.99010123) × R
    0.000191749999999991 × 0.548605226860565 × 6371000     		du = 670.197677887988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98999603)-sin(-0.99010123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548693179600399-0.548605226860565)×R²
    abs(0.43660928-0.43641753)×8.795273983353e-05×R²
    0.000191749999999991×8.795273983353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.795273983353e-05×40589641000000     		ar = 449222.060804479m²