Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18660 / 14060
↖ ↑ ↗
← N 24.726875°
E 25.004883°		 ← 1 109.63 m → N 24.726875°
E 25.015869°		 →
↑
1 109.64 m
↓
↑
1 109.64 m
↓
N 24.716896°
E 25.004883°		 ← 1 109.72 m →
1 231 336 m²		 N 24.716896°
E 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569473266601562 y=0.429092407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569473266601562 × 215)
    floor (0.569473266601562 × 32768)
    floor (18660.5)     		tx = 18660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429092407226562 × 215)
    floor (0.429092407226562 × 32768)
    floor (14060.5)     		ty = 14060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18660 / 14060 ti = "15/18660/14060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18660/14060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18660 ÷ 215
    18660 ÷ 32768     		x = 0.5694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14060 ÷ 215
    14060 ÷ 32768     		y = 0.4290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5694580078125 × 2 - 1) × π
    0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.445621418868042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43641753} λ = 0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445621418868042))-π/2
    2×atan(1.56146021524672)-π/2
    2×1.00118085350116-π/2
    2.00236170700232-1.57079632675     		φ = 0.43156538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43156538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.726875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18660 KachelY 14060 0.43641753 0.43156538 25.004883 24.726875
    Oben rechts KachelX + 1 18661 KachelY 14060 0.43660928 0.43156538 25.015869 24.726875
    Unten links KachelX 18660 KachelY + 1 14061 0.43641753 0.43139121 25.004883 24.716896
    Unten rechts KachelX + 1 18661 KachelY + 1 14061 0.43660928 0.43139121 25.015869 24.716896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43156538-0.43139121) × R
    0.000174169999999974 × 6371000     		dl = 1109.63706999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43156538-0.43139121) × R
    0.000174169999999974 × 6371000     		dr = 1109.63706999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(0.43156538) × R
    0.000191749999999991 × 0.908312075053467 × 6371000     		do = 1109.62968213421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(0.43139121) × R
    0.000191749999999991 × 0.908384915397242 × 6371000     		du = 1109.71866675715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43156538)-sin(0.43139121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908312075053467-0.908384915397242)×R²
    abs(0.43660928-0.43641753)×7.28403437756375e-05×R²
    0.000191749999999991×7.28403437756375e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.28403437756375e-05×40589641000000     		ar = 1231335.60269883m²