Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18660 / 13732
↖ ↑ ↗
← N 27.955591°
E 25.004883°		 ← 1 079.09 m → N 27.955591°
E 25.015869°		 →
↑
1 079.12 m
↓
↑
1 079.12 m
↓
N 27.945886°
E 25.004883°		 ← 1 079.18 m →
1 164 517 m²		 N 27.945886°
E 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569473266601562 y=0.419082641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569473266601562 × 215)
    floor (0.569473266601562 × 32768)
    floor (18660.5)     		tx = 18660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419082641601562 × 215)
    floor (0.419082641601562 × 32768)
    floor (13732.5)     		ty = 13732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18660 / 13732 ti = "15/18660/13732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18660/13732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18660 ÷ 215
    18660 ÷ 32768     		x = 0.5694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13732 ÷ 215
    13732 ÷ 32768     		y = 0.4190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5694580078125 × 2 - 1) × π
    0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4190673828125 × 2 - 1) × π
    0.161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.508514631169556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43641753} λ = 0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508514631169556))-π/2
    2×atan(1.66281945948516)-π/2
    2×1.02935671707699-π/2
    2.05871343415398-1.57079632675     		φ = 0.48791711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48791711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.955591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18660 KachelY 13732 0.43641753 0.48791711 25.004883 27.955591
    Oben rechts KachelX + 1 18661 KachelY 13732 0.43660928 0.48791711 25.015869 27.955591
    Unten links KachelX 18660 KachelY + 1 13733 0.43641753 0.48774773 25.004883 27.945886
    Unten rechts KachelX + 1 18661 KachelY + 1 13733 0.43660928 0.48774773 25.015869 27.945886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48791711-0.48774773) × R
    0.000169379999999997 × 6371000     		dl = 1079.11997999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48791711-0.48774773) × R
    0.000169379999999997 × 6371000     		dr = 1079.11997999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(0.48791711) × R
    0.000191749999999991 × 0.883311205888223 × 6371000     		do = 1079.08763907783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(0.48774773) × R
    0.000191749999999991 × 0.883390596370222 × 6371000     		du = 1079.18462560672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48791711)-sin(0.48774773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883311205888223-0.883390596370222)×R²
    abs(0.43660928-0.43641753)×7.93904819985647e-05×R²
    0.000191749999999991×7.93904819985647e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.93904819985647e-05×40589641000000     		ar = 1164517.36433472m²