Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18660 / 13660
↖ ↑ ↗
← N 28.652031°
E 25.004883°		 ← 1 072.05 m → N 28.652031°
E 25.015869°		 →
↑
1 072.05 m
↓
↑
1 072.05 m
↓
N 28.642389°
E 25.004883°		 ← 1 072.15 m →
1 149 339 m²		 N 28.642389°
E 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569473266601562 y=0.416885375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569473266601562 × 215)
    floor (0.569473266601562 × 32768)
    floor (18660.5)     		tx = 18660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416885375976562 × 215)
    floor (0.416885375976562 × 32768)
    floor (13660.5)     		ty = 13660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18660 / 13660 ti = "15/18660/13660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18660/13660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18660 ÷ 215
    18660 ÷ 32768     		x = 0.5694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13660 ÷ 215
    13660 ÷ 32768     		y = 0.4168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5694580078125 × 2 - 1) × π
    0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.522320458260132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43641753} λ = 0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522320458260132))-π/2
    2×atan(1.68593525661839)-π/2
    2×1.03543429933194-π/2
    2.07086859866388-1.57079632675     		φ = 0.50007227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50007227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.652031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18660 KachelY 13660 0.43641753 0.50007227 25.004883 28.652031
    Oben rechts KachelX + 1 18661 KachelY 13660 0.43660928 0.50007227 25.015869 28.652031
    Unten links KachelX 18660 KachelY + 1 13661 0.43641753 0.49990400 25.004883 28.642389
    Unten rechts KachelX + 1 18661 KachelY + 1 13661 0.43660928 0.49990400 25.015869 28.642389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50007227-0.49990400) × R
    0.00016826999999997 × 6371000     		dl = 1072.04816999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50007227-0.49990400) × R
    0.00016826999999997 × 6371000     		dr = 1072.04816999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(0.50007227) × R
    0.000191749999999991 × 0.877547911514942 × 6371000     		do = 1072.04697246213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43641753-0.43660928) × cos(0.49990400) × R
    0.000191749999999991 × 0.877628582698108 × 6371000     		du = 1072.14552354583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50007227)-sin(0.49990400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877547911514942-0.877628582698108)×R²
    abs(0.43660928-0.43641753)×8.06711831659035e-05×R²
    0.000191749999999991×8.06711831659035e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.06711831659035e-05×40589641000000     		ar = 1149338.82344843m²