Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1866 / 1847
↖ ↑ ↗
← S 80.844901°
E148.007813°		 ← 3 109.91 m → S 80.844901°
E148.183594°		 →
↑
3 105.23 m
↓
↑
3 105.23 m
↓
S 80.872827°
E148.007813°		 ← 3 100.51 m →
9 642 374 m²		 S 80.872827°
E148.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911376953125 y=0.902099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911376953125 × 211)
    floor (0.911376953125 × 2048)
    floor (1866.5)     		tx = 1866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902099609375 × 211)
    floor (0.902099609375 × 2048)
    floor (1847.5)     		ty = 1847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1866 / 1847 ti = "11/1866/1847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1866/1847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1866 ÷ 211
    1866 ÷ 2048     		x = 0.9111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1847 ÷ 211
    1847 ÷ 2048     		y = 0.90185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58322365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90185546875 × 2 - 1) × π
    -0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58322365} λ = 2.58322365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5249323767876))-π/2
    2×atan(0.0800637267700641)-π/2
    2×0.07989330690377-π/2
    0.15978661380754-1.57079632675     		φ = -1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58322365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1866 KachelY 1847 2.58322365 -1.41100971 148.007813 -80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 1867 KachelY 1847 2.58629161 -1.41100971 148.183594 -80.844901
    Unten links KachelX 1866 KachelY + 1 1848 2.58322365 -1.41149711 148.007813 -80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 1867 KachelY + 1 1848 2.58629161 -1.41149711 148.183594 -80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41100971--1.41149711) × R
    0.000487399999999916 × 6371000     		dl = 3105.22539999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41100971--1.41149711) × R
    0.000487399999999916 × 6371000     		dr = 3105.22539999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58322365-2.58629161) × cos(-1.41100971) × R
    0.00306796000000009 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 3109.91180934007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58322365-2.58629161) × cos(-1.41149711) × R
    0.00306796000000009 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 3100.50609127962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41100971)-sin(-1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.15862633525071)×R²
    abs(2.58629161-2.58322365)×0.000481210016173211×R²
    0.00306796000000009×0.000481210016173211×6371000²
    0.00306796000000009×0.000481210016173211×40589641000000     		ar = 9642373.89568679m²