Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1866 / 1372
↖ ↑ ↗
← N 75.888091°
W 97.998047°		 ← 1 191.41 m → N 75.888091°
W 97.954102°		 →
↑
1 191.89 m
↓
↑
1 191.89 m
↓
N 75.877372°
W 97.998047°		 ← 1 192.29 m →
1 420 552 m²		 N 75.877372°
W 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22784423828125 y=0.16754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22784423828125 × 213)
    floor (0.22784423828125 × 8192)
    floor (1866.5)     		tx = 1866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16754150390625 × 213)
    floor (0.16754150390625 × 8192)
    floor (1372.5)     		ty = 1372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1866 / 1372 ti = "13/1866/1372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1866/1372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1866 ÷ 213
    1866 ÷ 8192     		x = 0.227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1372 ÷ 213
    1372 ÷ 8192     		y = 0.16748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.54443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71038858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16748046875 × 2 - 1) × π
    0.6650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08928183304053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71038858} λ = -1.71038858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08928183304053))-π/2
    2×atan(8.0791109298181)-π/2
    2×1.44764668667627-π/2
    2.89529337335254-1.57079632675     		φ = 1.32449705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71038858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32449705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.888091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1866 KachelY 1372 -1.71038858 1.32449705 -97.998047 75.888091
    Oben rechts KachelX + 1 1867 KachelY 1372 -1.70962159 1.32449705 -97.954102 75.888091
    Unten links KachelX 1866 KachelY + 1 1373 -1.71038858 1.32430997 -97.998047 75.877372
    Unten rechts KachelX + 1 1867 KachelY + 1 1373 -1.70962159 1.32430997 -97.954102 75.877372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32449705-1.32430997) × R
    0.000187079999999895 × 6371000     		dl = 1191.88667999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32449705-1.32430997) × R
    0.000187079999999895 × 6371000     		dr = 1191.88667999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71038858--1.70962159) × cos(1.32449705) × R
    0.000766990000000023 × 0.243816596616047 × 6371000     		do = 1191.40816335499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71038858--1.70962159) × cos(1.32430997) × R
    0.000766990000000023 × 0.243998026528059 × 6371000     		du = 1192.29471940264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32449705)-sin(1.32430997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243816596616047-0.243998026528059)×R²
    abs(-1.70962159--1.71038858)×0.000181429912012032×R²
    0.000766990000000023×0.000181429912012032×6371000²
    0.000766990000000023×0.000181429912012032×40589641000000     		ar = 1420551.8616599m²