Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1866 / 1116
↖ ↑ ↗
← N 63.074866°
W 15.996094°		 ← 4 425.46 m → N 63.074866°
W 15.908203°		 →
↑
4 428.48 m
↓
↑
4 428.48 m
↓
N 63.035039°
W 15.996094°		 ← 4 431.52 m →
19 611 485 m²		 N 63.035039°
W 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4556884765625 y=0.2725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4556884765625 × 212)
    floor (0.4556884765625 × 4096)
    floor (1866.5)     		tx = 1866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2725830078125 × 212)
    floor (0.2725830078125 × 4096)
    floor (1116.5)     		ty = 1116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1866 / 1116 ti = "12/1866/1116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1866/1116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1866 ÷ 212
    1866 ÷ 4096     		x = 0.45556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1116 ÷ 212
    1116 ÷ 4096     		y = 0.2724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45556640625 × 2 - 1) × π
    -0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2724609375 × 2 - 1) × π
    0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27918450} λ = -0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42967009426855))-π/2
    2×atan(4.17732084248504)-π/2
    2×1.33583020416517-π/2
    2.67166040833034-1.57079632675     		φ = 1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1866 KachelY 1116 -0.27918450 1.10086408 -15.996094 63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 1867 KachelY 1116 -0.27765052 1.10086408 -15.908203 63.074866
    Unten links KachelX 1866 KachelY + 1 1117 -0.27918450 1.10016898 -15.996094 63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 1867 KachelY + 1 1117 -0.27765052 1.10016898 -15.908203 63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10086408-1.10016898) × R
    0.000695099999999949 × 6371000     		dl = 4428.48209999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10086408-1.10016898) × R
    0.000695099999999949 × 6371000     		dr = 4428.48209999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27918450--0.27765052) × cos(1.10086408) × R
    0.00153397999999999 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 4425.4612261372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27918450--0.27765052) × cos(1.10016898) × R
    0.00153397999999999 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 4431.51696931472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10086408)-sin(1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.27765052--0.27918450)×0.000619641000010329×R²
    0.00153397999999999×0.000619641000010329×6371000²
    0.00153397999999999×0.000619641000010329×40589641000000     		ar = 19611485.4889548m²