Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18659 / 19111
↖ ↑ ↗
← S 28.680950°
E 24.993897°		 ← 1 071.70 m → S 28.680950°
E 25.004883°		 →
↑
1 071.67 m
↓
↑
1 071.67 m
↓
S 28.690588°
E 24.993897°		 ← 1 071.60 m →
1 148 446 m²		 S 28.690588°
E 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569442749023438 y=0.583236694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569442749023438 × 215)
    floor (0.569442749023438 × 32768)
    floor (18659.5)     		tx = 18659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583236694335938 × 215)
    floor (0.583236694335938 × 32768)
    floor (19111.5)     		ty = 19111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18659 / 19111 ti = "15/18659/19111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18659/19111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18659 ÷ 215
    18659 ÷ 32768     		x = 0.569427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19111 ÷ 215
    19111 ÷ 32768     		y = 0.583221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569427490234375 × 2 - 1) × π
    0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583221435546875 × 2 - 1) × π
    -0.16644287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.522895701055572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43622579} λ = 0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522895701055572))-π/2
    2×atan(0.592801484340269)-π/2
    2×0.535109660722875-π/2
    1.07021932144575-1.57079632675     		φ = -0.50057701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50057701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.680950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18659 KachelY 19111 0.43622579 -0.50057701 24.993897 -28.680950
    Oben rechts KachelX + 1 18660 KachelY 19111 0.43641753 -0.50057701 25.004883 -28.680950
    Unten links KachelX 18659 KachelY + 1 19112 0.43622579 -0.50074522 24.993897 -28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 18660 KachelY + 1 19112 0.43641753 -0.50074522 25.004883 -28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50057701--0.50074522) × R
    0.000168210000000002 × 6371000     		dl = 1071.66591000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50057701--0.50074522) × R
    0.000168210000000002 × 6371000     		dr = 1071.66591000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43622579-0.43641753) × cos(-0.50057701) × R
    0.000191739999999996 × 0.877305782484291 × 6371000     		do = 1071.69528498335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43622579-0.43641753) × cos(-0.50074522) × R
    0.000191739999999996 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 1071.59665284296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50057701)-sin(-0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877305782484291-0.877225040739587)×R²
    abs(0.43641753-0.43622579)×8.07417447042935e-05×R²
    0.000191739999999996×8.07417447042935e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.07417447042935e-05×40589641000000     		ar = 1148446.45518075m²