Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18659 / 14176
↖ ↑ ↗
← N 23.563987°
E 24.993897°		 ← 1 119.71 m → N 23.563987°
E 25.004883°		 →
↑
1 119.77 m
↓
↑
1 119.77 m
↓
N 23.553917°
E 24.993897°		 ← 1 119.80 m →
1 253 866 m²		 N 23.553917°
E 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569442749023438 y=0.432632446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569442749023438 × 215)
    floor (0.569442749023438 × 32768)
    floor (18659.5)     		tx = 18659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432632446289062 × 215)
    floor (0.432632446289062 × 32768)
    floor (14176.5)     		ty = 14176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18659 / 14176 ti = "15/18659/14176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18659/14176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18659 ÷ 215
    18659 ÷ 32768     		x = 0.569427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14176 ÷ 215
    14176 ÷ 32768     		y = 0.4326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569427490234375 × 2 - 1) × π
    0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43622579} λ = 0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423378697444336))-π/2
    2×atan(1.52711250007833)-π/2
    2×0.991032743536421-π/2
    1.98206548707284-1.57079632675     		φ = 0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18659 KachelY 14176 0.43622579 0.41126916 24.993897 23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 18660 KachelY 14176 0.43641753 0.41126916 25.004883 23.563987
    Unten links KachelX 18659 KachelY + 1 14177 0.43622579 0.41109340 24.993897 23.553917
    Unten rechts KachelX + 1 18660 KachelY + 1 14177 0.43641753 0.41109340 25.004883 23.553917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41126916-0.41109340) × R
    0.000175760000000025 × 6371000     		dl = 1119.76696000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41126916-0.41109340) × R
    0.000175760000000025 × 6371000     		dr = 1119.76696000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43622579-0.43641753) × cos(0.41126916) × R
    0.000191739999999996 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 1119.71346838411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43622579-0.43641753) × cos(0.41109340) × R
    0.000191739999999996 × 0.916684435244509 × 6371000     		du = 1119.79928399338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41126916)-sin(0.41109340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.916684435244509)×R²
    abs(0.43641753-0.43622579)×7.02499407215784e-05×R²
    0.000191739999999996×7.02499407215784e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.02499407215784e-05×40589641000000     		ar = 1253866.19653345m²