Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18659 / 13985
↖ ↑ ↗
← N 25.473033°
E 24.993897°		 ← 1 102.82 m → N 25.473033°
E 25.004883°		 →
↑
1 102.88 m
↓
↑
1 102.88 m
↓
N 25.463115°
E 24.993897°		 ← 1 102.91 m →
1 216 336 m²		 N 25.463115°
E 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569442749023438 y=0.426803588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569442749023438 × 215)
    floor (0.569442749023438 × 32768)
    floor (18659.5)     		tx = 18659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426803588867188 × 215)
    floor (0.426803588867188 × 32768)
    floor (13985.5)     		ty = 13985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18659 / 13985 ti = "15/18659/13985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18659/13985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18659 ÷ 215
    18659 ÷ 32768     		x = 0.569427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13985 ÷ 215
    13985 ÷ 32768     		y = 0.426788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569427490234375 × 2 - 1) × π
    0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426788330078125 × 2 - 1) × π
    0.14642333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460002488754059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43622579} λ = 0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460002488754059))-π/2
    2×atan(1.58407792736995)-π/2
    2×1.00769231383119-π/2
    2.01538462766238-1.57079632675     		φ = 0.44458830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44458830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.473033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18659 KachelY 13985 0.43622579 0.44458830 24.993897 25.473033
    Oben rechts KachelX + 1 18660 KachelY 13985 0.43641753 0.44458830 25.004883 25.473033
    Unten links KachelX 18659 KachelY + 1 13986 0.43622579 0.44441519 24.993897 25.463115
    Unten rechts KachelX + 1 18660 KachelY + 1 13986 0.43641753 0.44441519 25.004883 25.463115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44458830-0.44441519) × R
    0.000173109999999976 × 6371000     		dl = 1102.88380999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44458830-0.44441519) × R
    0.000173109999999976 × 6371000     		dr = 1102.88380999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43622579-0.43641753) × cos(0.44458830) × R
    0.000191739999999996 × 0.902787808405596 × 6371000     		do = 1102.82350455846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43622579-0.43641753) × cos(0.44441519) × R
    0.000191739999999996 × 0.902862247107108 × 6371000     		du = 1102.91443705545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44458830)-sin(0.44441519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902787808405596-0.902862247107108)×R²
    abs(0.43641753-0.43622579)×7.4438701511137e-05×R²
    0.000191739999999996×7.4438701511137e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.4438701511137e-05×40589641000000     		ar = 1216336.33549145m²