Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18658 / 14047
↖ ↑ ↗
← N 24.856534°
E 24.982910°		 ← 1 108.47 m → N 24.856534°
E 24.993897°		 →
↑
1 108.49 m
↓
↑
1 108.49 m
↓
N 24.846565°
E 24.982910°		 ← 1 108.56 m →
1 228 778 m²		 N 24.846565°
E 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569412231445312 y=0.428695678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569412231445312 × 215)
    floor (0.569412231445312 × 32768)
    floor (18658.5)     		tx = 18658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428695678710938 × 215)
    floor (0.428695678710938 × 32768)
    floor (14047.5)     		ty = 14047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18658 / 14047 ti = "15/18658/14047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18658/14047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18658 ÷ 215
    18658 ÷ 32768     		x = 0.56939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14047 ÷ 215
    14047 ÷ 32768     		y = 0.428680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56939697265625 × 2 - 1) × π
    0.1387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43603404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428680419921875 × 2 - 1) × π
    0.14263916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.448114137648285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43603404} λ = 0.43603404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448114137648285))-π/2
    2×atan(1.56535735166448)-π/2
    2×1.00231234581964-π/2
    2.00462469163928-1.57079632675     		φ = 0.43382836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43603404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43382836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.856534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18658 KachelY 14047 0.43603404 0.43382836 24.982910 24.856534
    Oben rechts KachelX + 1 18659 KachelY 14047 0.43622579 0.43382836 24.993897 24.856534
    Unten links KachelX 18658 KachelY + 1 14048 0.43603404 0.43365437 24.982910 24.846565
    Unten rechts KachelX + 1 18659 KachelY + 1 14048 0.43622579 0.43365437 24.993897 24.846565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43382836-0.43365437) × R
    0.000173990000000013 × 6371000     		dl = 1108.49029000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43382836-0.43365437) × R
    0.000173990000000013 × 6371000     		dr = 1108.49029000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43603404-0.43622579) × cos(0.43382836) × R
    0.000191749999999991 × 0.90736316102058 × 6371000     		do = 1108.47045150676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43603404-0.43622579) × cos(0.43365437) × R
    0.000191749999999991 × 0.907436283562814 × 6371000     		du = 1108.55978087441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43382836)-sin(0.43365437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90736316102058-0.907436283562814)×R²
    abs(0.43622579-0.43603404)×7.31225422344606e-05×R²
    0.000191749999999991×7.31225422344606e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.31225422344606e-05×40589641000000     		ar = 1228778.24571564m²