Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18658 / 13785
↖ ↑ ↗
← N 27.440040°
E 24.982910°		 ← 1 084.20 m → N 27.440040°
E 24.993897°		 →
↑
1 084.22 m
↓
↑
1 084.22 m
↓
N 27.430290°
E 24.982910°		 ← 1 084.29 m →
1 175 556 m²		 N 27.430290°
E 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569412231445312 y=0.420700073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569412231445312 × 215)
    floor (0.569412231445312 × 32768)
    floor (18658.5)     		tx = 18658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420700073242188 × 215)
    floor (0.420700073242188 × 32768)
    floor (13785.5)     		ty = 13785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18658 / 13785 ti = "15/18658/13785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18658/13785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18658 ÷ 215
    18658 ÷ 32768     		x = 0.56939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13785 ÷ 215
    13785 ÷ 32768     		y = 0.420684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56939697265625 × 2 - 1) × π
    0.1387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43603404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420684814453125 × 2 - 1) × π
    0.15863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.498352008450104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43603404} λ = 0.43603404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498352008450104))-π/2
    2×atan(1.6460064296099)-π/2
    2×1.02485768988934-π/2
    2.04971537977868-1.57079632675     		φ = 0.47891905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43603404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47891905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.440040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18658 KachelY 13785 0.43603404 0.47891905 24.982910 27.440040
    Oben rechts KachelX + 1 18659 KachelY 13785 0.43622579 0.47891905 24.993897 27.440040
    Unten links KachelX 18658 KachelY + 1 13786 0.43603404 0.47874887 24.982910 27.430290
    Unten rechts KachelX + 1 18659 KachelY + 1 13786 0.43622579 0.47874887 24.993897 27.430290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47891905-0.47874887) × R
    0.00017018000000002 × 6371000     		dl = 1084.21678000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47891905-0.47874887) × R
    0.00017018000000002 × 6371000     		dr = 1084.21678000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43603404-0.43622579) × cos(0.47891905) × R
    0.000191749999999991 × 0.887493564676033 × 6371000     		do = 1084.1969727306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43603404-0.43622579) × cos(0.47874887) × R
    0.000191749999999991 × 0.887571974190313 × 6371000     		du = 1084.29276087082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47891905)-sin(0.47874887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887493564676033-0.887571974190313)×R²
    abs(0.43622579-0.43603404)×7.84095142805086e-05×R²
    0.000191749999999991×7.84095142805086e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.84095142805086e-05×40589641000000     		ar = 1175556.4810516m²