Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18657 / 14177
↖ ↑ ↗
← N 23.553917°
E 24.971924°		 ← 1 119.86 m → N 23.553917°
E 24.982910°		 →
↑
1 119.89 m
↓
↑
1 119.89 m
↓
N 23.543845°
E 24.971924°		 ← 1 119.94 m →
1 254 170 m²		 N 23.543845°
E 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569381713867188 y=0.432662963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569381713867188 × 215)
    floor (0.569381713867188 × 32768)
    floor (18657.5)     		tx = 18657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432662963867188 × 215)
    floor (0.432662963867188 × 32768)
    floor (14177.5)     		ty = 14177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18657 / 14177 ti = "15/18657/14177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18657/14177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18657 ÷ 215
    18657 ÷ 32768     		x = 0.569366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14177 ÷ 215
    14177 ÷ 32768     		y = 0.432647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569366455078125 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43584229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432647705078125 × 2 - 1) × π
    0.13470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.423186949845856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43584229} λ = 0.43584229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423186949845856))-π/2
    2×atan(1.52681970799582)-π/2
    2×0.9909448608842-π/2
    1.9818897217684-1.57079632675     		φ = 0.41109340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43584229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41109340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.553917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18657 KachelY 14177 0.43584229 0.41109340 24.971924 23.553917
    Oben rechts KachelX + 1 18658 KachelY 14177 0.43603404 0.41109340 24.982910 23.553917
    Unten links KachelX 18657 KachelY + 1 14178 0.43584229 0.41091762 24.971924 23.543845
    Unten rechts KachelX + 1 18658 KachelY + 1 14178 0.43603404 0.41091762 24.982910 23.543845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41109340-0.41091762) × R
    0.000175780000000014 × 6371000     		dl = 1119.89438000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41109340-0.41091762) × R
    0.000175780000000014 × 6371000     		dr = 1119.89438000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43584229-0.43603404) × cos(0.41109340) × R
    0.000191749999999991 × 0.916684435244509 × 6371000     		do = 1119.85768595872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43584229-0.43603404) × cos(0.41091762) × R
    0.000191749999999991 × 0.916754664856417 × 6371000     		du = 1119.94348120914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41109340)-sin(0.41091762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916684435244509-0.916754664856417)×R²
    abs(0.43603404-0.43584229)×7.0229611908057e-05×R²
    0.000191749999999991×7.0229611908057e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.0229611908057e-05×40589641000000     		ar = 1254170.3729438m²