Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18657 / 14173
↖ ↑ ↗
← N 23.594195°
E 24.971924°		 ← 1 119.51 m → N 23.594195°
E 24.982910°		 →
↑
1 119.58 m
↓
↑
1 119.58 m
↓
N 23.584126°
E 24.971924°		 ← 1 119.60 m →
1 253 429 m²		 N 23.584126°
E 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569381713867188 y=0.432540893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569381713867188 × 215)
    floor (0.569381713867188 × 32768)
    floor (18657.5)     		tx = 18657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432540893554688 × 215)
    floor (0.432540893554688 × 32768)
    floor (14173.5)     		ty = 14173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18657 / 14173 ti = "15/18657/14173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18657/14173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18657 ÷ 215
    18657 ÷ 32768     		x = 0.569366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14173 ÷ 215
    14173 ÷ 32768     		y = 0.432525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569366455078125 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43584229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432525634765625 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.423953940239777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43584229} λ = 0.43584229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423953940239777))-π/2
    2×atan(1.52799121325431)-π/2
    2×0.991296351065707-π/2
    1.98259270213141-1.57079632675     		φ = 0.41179638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43584229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41179638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.594195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18657 KachelY 14173 0.43584229 0.41179638 24.971924 23.594195
    Oben rechts KachelX + 1 18658 KachelY 14173 0.43603404 0.41179638 24.982910 23.594195
    Unten links KachelX 18657 KachelY + 1 14174 0.43584229 0.41162065 24.971924 23.584126
    Unten rechts KachelX + 1 18658 KachelY + 1 14174 0.43603404 0.41162065 24.982910 23.584126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41179638-0.41162065) × R
    0.000175730000000041 × 6371000     		dl = 1119.57583000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41179638-0.41162065) × R
    0.000175730000000041 × 6371000     		dr = 1119.57583000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43584229-0.43603404) × cos(0.41179638) × R
    0.000191749999999991 × 0.916403289611731 × 6371000     		do = 1119.51422741875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43584229-0.43603404) × cos(0.41162065) × R
    0.000191749999999991 × 0.916473612480395 × 6371000     		du = 1119.60013659528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41179638)-sin(0.41162065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916403289611731-0.916473612480395)×R²
    abs(0.43603404-0.43584229)×7.03228686641522e-05×R²
    0.000191749999999991×7.03228686641522e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.03228686641522e-05×40589641000000     		ar = 1253429.1645041m²