Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18657 / 13984
↖ ↑ ↗
← N 25.482951°
E 24.971924°		 ← 1 102.79 m → N 25.482951°
E 24.982910°		 →
↑
1 102.82 m
↓
↑
1 102.82 m
↓
N 25.473033°
E 24.971924°		 ← 1 102.88 m →
1 216 229 m²		 N 25.473033°
E 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569381713867188 y=0.426773071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569381713867188 × 215)
    floor (0.569381713867188 × 32768)
    floor (18657.5)     		tx = 18657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426773071289062 × 215)
    floor (0.426773071289062 × 32768)
    floor (13984.5)     		ty = 13984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18657 / 13984 ti = "15/18657/13984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18657/13984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18657 ÷ 215
    18657 ÷ 32768     		x = 0.569366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13984 ÷ 215
    13984 ÷ 32768     		y = 0.4267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569366455078125 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43584229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43584229} λ = 0.43584229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460194236352539))-π/2
    2×atan(1.5843816996312)-π/2
    2×1.00777886395897-π/2
    2.01555772791793-1.57079632675     		φ = 0.44476140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43584229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44476140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.482951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18657 KachelY 13984 0.43584229 0.44476140 24.971924 25.482951
    Oben rechts KachelX + 1 18658 KachelY 13984 0.43603404 0.44476140 24.982910 25.482951
    Unten links KachelX 18657 KachelY + 1 13985 0.43584229 0.44458830 24.971924 25.473033
    Unten rechts KachelX + 1 18658 KachelY + 1 13985 0.43603404 0.44458830 24.982910 25.473033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44476140-0.44458830) × R
    0.000173099999999982 × 6371000     		dl = 1102.82009999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44476140-0.44458830) × R
    0.000173099999999982 × 6371000     		dr = 1102.82009999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43584229-0.43603404) × cos(0.44476140) × R
    0.000191749999999991 × 0.902713346952603 × 6371000     		do = 1102.79005613611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43584229-0.43603404) × cos(0.44458830) × R
    0.000191749999999991 × 0.902787808405596 × 6371000     		du = 1102.8810211697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44476140)-sin(0.44458830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902713346952603-0.902787808405596)×R²
    abs(0.43603404-0.43584229)×7.44614529933907e-05×R²
    0.000191749999999991×7.44614529933907e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.44614529933907e-05×40589641000000     		ar = 1216229.20205761m²