Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18656 / 19138
↖ ↑ ↗
← S 28.940862°
E 24.960937°		 ← 1 069.08 m → S 28.940862°
E 24.971924°		 →
↑
1 068.99 m
↓
↑
1 068.99 m
↓
S 28.950476°
E 24.960937°		 ← 1 068.98 m →
1 142 783 m²		 S 28.950476°
E 24.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569351196289062 y=0.584060668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569351196289062 × 215)
    floor (0.569351196289062 × 32768)
    floor (18656.5)     		tx = 18656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584060668945312 × 215)
    floor (0.584060668945312 × 32768)
    floor (19138.5)     		ty = 19138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18656 / 19138 ti = "15/18656/19138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18656/19138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18656 ÷ 215
    18656 ÷ 32768     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19138 ÷ 215
    19138 ÷ 32768     		y = 0.58404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.1680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528072886214539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528072886214539))-π/2
    2×atan(0.589740372103061)-π/2
    2×0.532841500283713-π/2
    1.06568300056743-1.57079632675     		φ = -0.50511333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50511333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.940862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18656 KachelY 19138 0.43565054 -0.50511333 24.960937 -28.940862
    Oben rechts KachelX + 1 18657 KachelY 19138 0.43584229 -0.50511333 24.971924 -28.940862
    Unten links KachelX 18656 KachelY + 1 19139 0.43565054 -0.50528112 24.960937 -28.950476
    Unten rechts KachelX + 1 18657 KachelY + 1 19139 0.43584229 -0.50528112 24.971924 -28.950476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50511333--0.50528112) × R
    0.000167790000000001 × 6371000     		dl = 1068.99009000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50511333--0.50528112) × R
    0.000167790000000001 × 6371000     		dr = 1068.99009000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43584229) × cos(-0.50511333) × R
    0.000191750000000046 × 0.875119638908872 × 6371000     		do = 1069.08049933716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43584229) × cos(-0.50528112) × R
    0.000191750000000046 × 0.875038431898526 × 6371000     		du = 1068.98129366595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50511333)-sin(-0.50528112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875119638908872-0.875038431898526)×R²
    abs(0.43584229-0.43565054)×8.1207010346418e-05×R²
    0.000191750000000046×8.1207010346418e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.1207010346418e-05×40589641000000     		ar = 1142783.4369451m²