Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18656 / 14039
↖ ↑ ↗
← N 24.936257°
E 24.960937°		 ← 1 107.75 m → N 24.936257°
E 24.971924°		 →
↑
1 107.79 m
↓
↑
1 107.79 m
↓
N 24.926295°
E 24.960937°		 ← 1 107.84 m →
1 227 209 m²		 N 24.926295°
E 24.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569351196289062 y=0.428451538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569351196289062 × 215)
    floor (0.569351196289062 × 32768)
    floor (18656.5)     		tx = 18656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428451538085938 × 215)
    floor (0.428451538085938 × 32768)
    floor (14039.5)     		ty = 14039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18656 / 14039 ti = "15/18656/14039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18656/14039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18656 ÷ 215
    18656 ÷ 32768     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14039 ÷ 215
    14039 ÷ 32768     		y = 0.428436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428436279296875 × 2 - 1) × π
    0.14312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449648118436127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449648118436127))-π/2
    2×atan(1.56776042242901)-π/2
    2×1.0030080600976-π/2
    2.00601612019521-1.57079632675     		φ = 0.43521979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43521979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.936257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18656 KachelY 14039 0.43565054 0.43521979 24.960937 24.936257
    Oben rechts KachelX + 1 18657 KachelY 14039 0.43584229 0.43521979 24.971924 24.936257
    Unten links KachelX 18656 KachelY + 1 14040 0.43565054 0.43504591 24.960937 24.926295
    Unten rechts KachelX + 1 18657 KachelY + 1 14040 0.43584229 0.43504591 24.971924 24.926295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43521979-0.43504591) × R
    0.000173880000000015 × 6371000     		dl = 1107.7894800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43521979-0.43504591) × R
    0.000173880000000015 × 6371000     		dr = 1107.7894800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43584229) × cos(0.43521979) × R
    0.000191750000000046 × 0.906777398603588 × 6371000     		do = 1107.7548611473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43584229) × cos(0.43504591) × R
    0.000191750000000046 × 0.906850694392099 × 6371000     		du = 1107.84440215941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43521979)-sin(0.43504591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906777398603588-0.906850694392099)×R²
    abs(0.43584229-0.43565054)×7.32957885105634e-05×R²
    0.000191750000000046×7.32957885105634e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.32957885105634e-05×40589641000000     		ar = 1227208.78098567m²