Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18656 / 13728
↖ ↑ ↗
← N 27.994402°
E 24.960937°		 ← 1 078.70 m → N 27.994402°
E 24.971924°		 →
↑
1 078.74 m
↓
↑
1 078.74 m
↓
N 27.984700°
E 24.960937°		 ← 1 078.80 m →
1 163 686 m²		 N 27.984700°
E 24.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569351196289062 y=0.418960571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569351196289062 × 215)
    floor (0.569351196289062 × 32768)
    floor (18656.5)     		tx = 18656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418960571289062 × 215)
    floor (0.418960571289062 × 32768)
    floor (13728.5)     		ty = 13728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18656 / 13728 ti = "15/18656/13728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18656/13728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18656 ÷ 215
    18656 ÷ 32768     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13728 ÷ 215
    13728 ÷ 32768     		y = 0.4189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509281621563477))-π/2
    2×atan(1.66409531525942)-π/2
    2×1.02969540176487-π/2
    2.05939080352975-1.57079632675     		φ = 0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18656 KachelY 13728 0.43565054 0.48859448 24.960937 27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 18657 KachelY 13728 0.43584229 0.48859448 24.971924 27.994402
    Unten links KachelX 18656 KachelY + 1 13729 0.43565054 0.48842516 24.960937 27.984700
    Unten rechts KachelX + 1 18657 KachelY + 1 13729 0.43584229 0.48842516 24.971924 27.984700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48859448-0.48842516) × R
    0.000169319999999973 × 6371000     		dl = 1078.73771999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48859448-0.48842516) × R
    0.000169319999999973 × 6371000     		dr = 1078.73771999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43584229) × cos(0.48859448) × R
    0.000191750000000046 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 1078.69946941762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43584229) × cos(0.48842516) × R
    0.000191750000000046 × 0.883072924631577 × 6371000     		du = 1078.79654534248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48859448)-sin(0.48842516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.883072924631577)×R²
    abs(0.43584229-0.43565054)×7.94636590705222e-05×R²
    0.000191750000000046×7.94636590705222e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.94636590705222e-05×40589641000000     		ar = 1163686.16871582m²