Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18654 / 13498
↖ ↑ ↗
← N 30.202113°
E 24.938965°		 ← 1 055.81 m → N 30.202113°
E 24.949951°		 →
↑
1 055.80 m
↓
↑
1 055.80 m
↓
N 30.192618°
E 24.938965°		 ← 1 055.91 m →
1 114 780 m²		 N 30.192618°
E 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569290161132812 y=0.411941528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569290161132812 × 215)
    floor (0.569290161132812 × 32768)
    floor (18654.5)     		tx = 18654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411941528320312 × 215)
    floor (0.411941528320312 × 32768)
    floor (13498.5)     		ty = 13498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18654 / 13498 ti = "15/18654/13498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18654/13498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18654 ÷ 215
    18654 ÷ 32768     		x = 0.56927490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13498 ÷ 215
    13498 ÷ 32768     		y = 0.41192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56927490234375 × 2 - 1) × π
    0.1385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43526705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    0.1761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.553383569213928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43526705} λ = 0.43526705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553383569213928))-π/2
    2×atan(1.73912753222702)-π/2
    2×1.04896132577155-π/2
    2.09792265154309-1.57079632675     		φ = 0.52712632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43526705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.938965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52712632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.202113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18654 KachelY 13498 0.43526705 0.52712632 24.938965 30.202113
    Oben rechts KachelX + 1 18655 KachelY 13498 0.43545880 0.52712632 24.949951 30.202113
    Unten links KachelX 18654 KachelY + 1 13499 0.43526705 0.52696060 24.938965 30.192618
    Unten rechts KachelX + 1 18655 KachelY + 1 13499 0.43545880 0.52696060 24.949951 30.192618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52712632-0.52696060) × R
    0.000165720000000036 × 6371000     		dl = 1055.80212000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52712632-0.52696060) × R
    0.000165720000000036 × 6371000     		dr = 1055.80212000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43526705-0.43545880) × cos(0.52712632) × R
    0.000191749999999991 × 0.864256247023457 × 6371000     		do = 1055.8093534215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43526705-0.43545880) × cos(0.52696060) × R
    0.000191749999999991 × 0.864339600904068 × 6371000     		du = 1055.91118179369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52712632)-sin(0.52696060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864256247023457-0.864339600904068)×R²
    abs(0.43545880-0.43526705)×8.33538806108702e-05×R²
    0.000191749999999991×8.33538806108702e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.33538806108702e-05×40589641000000     		ar = 1114779.51151549m²