Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18653 / 13729
↖ ↑ ↗
← N 27.984700°
E 24.927978°		 ← 1 078.80 m → N 27.984700°
E 24.938965°		 →
↑
1 078.87 m
↓
↑
1 078.87 m
↓
N 27.974998°
E 24.927978°		 ← 1 078.89 m →
1 163 928 m²		 N 27.974998°
E 24.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569259643554688 y=0.418991088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569259643554688 × 215)
    floor (0.569259643554688 × 32768)
    floor (18653.5)     		tx = 18653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418991088867188 × 215)
    floor (0.418991088867188 × 32768)
    floor (13729.5)     		ty = 13729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18653 / 13729 ti = "15/18653/13729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18653/13729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18653 ÷ 215
    18653 ÷ 32768     		x = 0.569244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13729 ÷ 215
    13729 ÷ 32768     		y = 0.418975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569244384765625 × 2 - 1) × π
    0.13848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43507530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418975830078125 × 2 - 1) × π
    0.16204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.509089873964996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43507530} λ = 0.43507530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509089873964996))-π/2
    2×atan(1.66377625956914)-π/2
    2×1.02961074201754-π/2
    2.05922148403509-1.57079632675     		φ = 0.48842516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43507530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48842516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.984700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18653 KachelY 13729 0.43507530 0.48842516 24.927978 27.984700
    Oben rechts KachelX + 1 18654 KachelY 13729 0.43526705 0.48842516 24.938965 27.984700
    Unten links KachelX 18653 KachelY + 1 13730 0.43507530 0.48825582 24.927978 27.974998
    Unten rechts KachelX + 1 18654 KachelY + 1 13730 0.43526705 0.48825582 24.938965 27.974998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48842516-0.48825582) × R
    0.000169340000000018 × 6371000     		dl = 1078.86514000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48842516-0.48825582) × R
    0.000169340000000018 × 6371000     		dr = 1078.86514000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43507530-0.43526705) × cos(0.48842516) × R
    0.000191749999999991 × 0.883072924631577 × 6371000     		do = 1078.79654534217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43507530-0.43526705) × cos(0.48825582) × R
    0.000191749999999991 × 0.883152372355323 × 6371000     		du = 1078.89360179982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48842516)-sin(0.48825582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883072924631577-0.883152372355323)×R²
    abs(0.43526705-0.43507530)×7.94477237459068e-05×R²
    0.000191749999999991×7.94477237459068e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.94477237459068e-05×40589641000000     		ar = 1163928.34411787m²