Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18653 / 13274
↖ ↑ ↗
← N 32.305706°
E 24.927978°		 ← 1 032.54 m → N 32.305706°
E 24.938965°		 →
↑
1 032.61 m
↓
↑
1 032.61 m
↓
N 32.296420°
E 24.927978°		 ← 1 032.65 m →
1 066 268 m²		 N 32.296420°
E 24.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569259643554688 y=0.405105590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569259643554688 × 215)
    floor (0.569259643554688 × 32768)
    floor (18653.5)     		tx = 18653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405105590820312 × 215)
    floor (0.405105590820312 × 32768)
    floor (13274.5)     		ty = 13274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18653 / 13274 ti = "15/18653/13274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18653/13274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18653 ÷ 215
    18653 ÷ 32768     		x = 0.569244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13274 ÷ 215
    13274 ÷ 32768     		y = 0.40509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569244384765625 × 2 - 1) × π
    0.13848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43507530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40509033203125 × 2 - 1) × π
    0.1898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.596335031273499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43507530} λ = 0.43507530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596335031273499))-π/2
    2×atan(1.81545301438097)-π/2
    2×1.06731863195214-π/2
    2.13463726390428-1.57079632675     		φ = 0.56384094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43507530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56384094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.305706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18653 KachelY 13274 0.43507530 0.56384094 24.927978 32.305706
    Oben rechts KachelX + 1 18654 KachelY 13274 0.43526705 0.56384094 24.938965 32.305706
    Unten links KachelX 18653 KachelY + 1 13275 0.43507530 0.56367886 24.927978 32.296420
    Unten rechts KachelX + 1 18654 KachelY + 1 13275 0.43526705 0.56367886 24.938965 32.296420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56384094-0.56367886) × R
    0.000162079999999953 × 6371000     		dl = 1032.6116799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56384094-0.56367886) × R
    0.000162079999999953 × 6371000     		dr = 1032.6116799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43507530-0.43526705) × cos(0.56384094) × R
    0.000191749999999991 × 0.845208612021529 × 6371000     		do = 1032.54001488347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43507530-0.43526705) × cos(0.56367886) × R
    0.000191749999999991 × 0.845295222391779 × 6371000     		du = 1032.64582151123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56384094)-sin(0.56367886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845208612021529-0.845295222391779)×R²
    abs(0.43526705-0.43507530)×8.66103702501508e-05×R²
    0.000191749999999991×8.66103702501508e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.66103702501508e-05×40589641000000     		ar = 1066267.51035003m²