Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18652 / 14188
↖ ↑ ↗
← N 23.443089°
E 24.916992°		 ← 1 120.80 m → N 23.443089°
E 24.927978°		 →
↑
1 120.85 m
↓
↑
1 120.85 m
↓
N 23.433009°
E 24.916992°		 ← 1 120.89 m →
1 256 296 m²		 N 23.433009°
E 24.927978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569229125976562 y=0.432998657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569229125976562 × 215)
    floor (0.569229125976562 × 32768)
    floor (18652.5)     		tx = 18652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432998657226562 × 215)
    floor (0.432998657226562 × 32768)
    floor (14188.5)     		ty = 14188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18652 / 14188 ti = "15/18652/14188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18652/14188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18652 ÷ 215
    18652 ÷ 32768     		x = 0.5692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14188 ÷ 215
    14188 ÷ 32768     		y = 0.4329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5692138671875 × 2 - 1) × π
    0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4329833984375 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.421077726262573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43488355} λ = 0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421077726262573))-π/2
    2×atan(1.52360269774989)-π/2
    2×0.989977707734884-π/2
    1.97995541546977-1.57079632675     		φ = 0.40915909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40915909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.443089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18652 KachelY 14188 0.43488355 0.40915909 24.916992 23.443089
    Oben rechts KachelX + 1 18653 KachelY 14188 0.43507530 0.40915909 24.927978 23.443089
    Unten links KachelX 18652 KachelY + 1 14189 0.43488355 0.40898316 24.916992 23.433009
    Unten rechts KachelX + 1 18653 KachelY + 1 14189 0.43507530 0.40898316 24.927978 23.433009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40915909-0.40898316) × R
    0.000175929999999991 × 6371000     		dl = 1120.85002999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40915909-0.40898316) × R
    0.000175929999999991 × 6371000     		dr = 1120.85002999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43488355-0.43507530) × cos(0.40915909) × R
    0.000191749999999991 × 0.917455693085462 × 6371000     		do = 1120.7998848091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43488355-0.43507530) × cos(0.40898316) × R
    0.000191749999999991 × 0.917525670521098 × 6371000     		du = 1120.88537199109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40915909)-sin(0.40898316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917455693085462-0.917525670521098)×R²
    abs(0.43507530-0.43488355)×6.99774356364147e-05×R²
    0.000191749999999991×6.99774356364147e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.99774356364147e-05×40589641000000     		ar = 1256296.49690813m²