Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18650 / 13278
↖ ↑ ↗
← N 32.268556°
E 24.895020°		 ← 1 032.96 m → N 32.268556°
E 24.906006°		 →
↑
1 032.99 m
↓
↑
1 032.99 m
↓
N 32.259266°
E 24.895020°		 ← 1 033.07 m →
1 067 099 m²		 N 32.259266°
E 24.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569168090820312 y=0.405227661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569168090820312 × 215)
    floor (0.569168090820312 × 32768)
    floor (18650.5)     		tx = 18650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405227661132812 × 215)
    floor (0.405227661132812 × 32768)
    floor (13278.5)     		ty = 13278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18650 / 13278 ti = "15/18650/13278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18650/13278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18650 ÷ 215
    18650 ÷ 32768     		x = 0.56915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13278 ÷ 215
    13278 ÷ 32768     		y = 0.40521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56915283203125 × 2 - 1) × π
    0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40521240234375 × 2 - 1) × π
    0.1895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.595568040879578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43450006} λ = 0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595568040879578))-π/2
    2×atan(1.81406111321397)-π/2
    2×1.06699443208965-π/2
    2.1339888641793-1.57079632675     		φ = 0.56319254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56319254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.268556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18650 KachelY 13278 0.43450006 0.56319254 24.895020 32.268556
    Oben rechts KachelX + 1 18651 KachelY 13278 0.43469181 0.56319254 24.906006 32.268556
    Unten links KachelX 18650 KachelY + 1 13279 0.43450006 0.56303040 24.895020 32.259266
    Unten rechts KachelX + 1 18651 KachelY + 1 13279 0.43469181 0.56303040 24.906006 32.259266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56319254-0.56303040) × R
    0.000162139999999922 × 6371000     		dl = 1032.9939399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56319254-0.56303040) × R
    0.000162139999999922 × 6371000     		dr = 1032.9939399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43450006-0.43469181) × cos(0.56319254) × R
    0.000191749999999991 × 0.845554962969445 × 6371000     		do = 1032.96313079572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43450006-0.43469181) × cos(0.56303040) × R
    0.000191749999999991 × 0.84564151651679 × 6371000     		du = 1033.06886800638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56319254)-sin(0.56303040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845554962969445-0.84564151651679)×R²
    abs(0.43469181-0.43450006)×8.65535473452139e-05×R²
    0.000191749999999991×8.65535473452139e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.65535473452139e-05×40589641000000     		ar = 1067099.26964132m²