Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1865 / 1367
↖ ↑ ↗
← N 75.941564°
W 98.041992°		 ← 1 186.98 m → N 75.941564°
W 97.998047°		 →
↑
1 187.43 m
↓
↑
1 187.43 m
↓
N 75.930885°
W 98.041992°		 ← 1 187.87 m →
1 409 982 m²		 N 75.930885°
W 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22772216796875 y=0.16693115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22772216796875 × 213)
    floor (0.22772216796875 × 8192)
    floor (1865.5)     		tx = 1865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16693115234375 × 213)
    floor (0.16693115234375 × 8192)
    floor (1367.5)     		ty = 1367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1865 / 1367 ti = "13/1865/1367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1865/1367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1865 ÷ 213
    1865 ÷ 8192     		x = 0.2276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1367 ÷ 213
    1367 ÷ 8192     		y = 0.1668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71115557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    0.666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09311678501013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71115557} λ = -1.71115557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09311678501013))-π/2
    2×atan(8.11015341737068)-π/2
    2×1.44811333076991-π/2
    2.89622666153981-1.57079632675     		φ = 1.32543033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71115557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32543033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.941564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1865 KachelY 1367 -1.71115557 1.32543033 -98.041992 75.941564
    Oben rechts KachelX + 1 1866 KachelY 1367 -1.71038858 1.32543033 -97.998047 75.941564
    Unten links KachelX 1865 KachelY + 1 1368 -1.71115557 1.32524395 -98.041992 75.930885
    Unten rechts KachelX + 1 1866 KachelY + 1 1368 -1.71038858 1.32524395 -97.998047 75.930885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32543033-1.32524395) × R
    0.000186380000000153 × 6371000     		dl = 1187.42698000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32543033-1.32524395) × R
    0.000186380000000153 × 6371000     		dr = 1187.42698000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71115557--1.71038858) × cos(1.32543033) × R
    0.000766990000000023 × 0.242911375686542 × 6371000     		do = 1186.98480735699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71115557--1.71038858) × cos(1.32524395) × R
    0.000766990000000023 × 0.243092169103092 × 6371000     		du = 1187.86825317384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32543033)-sin(1.32524395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242911375686542-0.243092169103092)×R²
    abs(-1.71038858--1.71115557)×0.00018079341655014×R²
    0.000766990000000023×0.00018079341655014×6371000²
    0.000766990000000023×0.00018079341655014×40589641000000     		ar = 1409982.30288799m²