Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1865 / 1114
↖ ↑ ↗
← N 63.154355°
W 16.083984°		 ← 4 413.37 m → N 63.154355°
W 15.996094°		 →
↑
4 416.44 m
↓
↑
4 416.44 m
↓
N 63.114637°
W 16.083984°		 ← 4 419.41 m →
19 504 726 m²		 N 63.114637°
W 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4554443359375 y=0.2720947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4554443359375 × 212)
    floor (0.4554443359375 × 4096)
    floor (1865.5)     		tx = 1865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2720947265625 × 212)
    floor (0.2720947265625 × 4096)
    floor (1114.5)     		ty = 1114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1865 / 1114 ti = "12/1865/1114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1865/1114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1865 ÷ 212
    1865 ÷ 4096     		x = 0.455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1114 ÷ 212
    1114 ÷ 4096     		y = 0.27197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.08935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28071848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27197265625 × 2 - 1) × π
    0.4560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43273805584424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28071848} λ = -0.28071848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43273805584424))-π/2
    2×atan(4.19015638172192)-π/2
    2×1.33652388096546-π/2
    2.67304776193092-1.57079632675     		φ = 1.10225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28071848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.154355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1865 KachelY 1114 -0.28071848 1.10225144 -16.083984 63.154355
    Oben rechts KachelX + 1 1866 KachelY 1114 -0.27918450 1.10225144 -15.996094 63.154355
    Unten links KachelX 1865 KachelY + 1 1115 -0.28071848 1.10155823 -16.083984 63.114637
    Unten rechts KachelX + 1 1866 KachelY + 1 1115 -0.27918450 1.10155823 -15.996094 63.114637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10225144-1.10155823) × R
    0.000693210000000111 × 6371000     		dl = 4416.44091000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10225144-1.10155823) × R
    0.000693210000000111 × 6371000     		dr = 4416.44091000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28071848--0.27918450) × cos(1.10225144) × R
    0.00153397999999999 × 0.451588473587174 × 6371000     		do = 4413.3680920501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28071848--0.27918450) × cos(1.10155823) × R
    0.00153397999999999 × 0.452206865259001 × 6371000     		du = 4419.41162556005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10225144)-sin(1.10155823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451588473587174-0.452206865259001)×R²
    abs(-0.27918450--0.28071848)×0.000618391671826812×R²
    0.00153397999999999×0.000618391671826812×6371000²
    0.00153397999999999×0.000618391671826812×40589641000000     		ar = 19504725.6280055m²