Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18648 / 13353
↖ ↑ ↗
← N 31.569175°
E 24.873047°		 ← 1 040.85 m → N 31.569175°
E 24.884033°		 →
↑
1 040.89 m
↓
↑
1 040.89 m
↓
N 31.559814°
E 24.873047°		 ← 1 040.95 m →
1 083 466 m²		 N 31.559814°
E 24.884033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569107055664062 y=0.407516479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569107055664062 × 215)
    floor (0.569107055664062 × 32768)
    floor (18648.5)     		tx = 18648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407516479492188 × 215)
    floor (0.407516479492188 × 32768)
    floor (13353.5)     		ty = 13353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18648 / 13353 ti = "15/18648/13353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18648/13353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18648 ÷ 215
    18648 ÷ 32768     		x = 0.569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13353 ÷ 215
    13353 ÷ 32768     		y = 0.407501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569091796875 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407501220703125 × 2 - 1) × π
    0.18499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.581186970993561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43411656} λ = 0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581186970993561))-π/2
    2×atan(1.78815966523361)-π/2
    2×1.0608911902534-π/2
    2.12178238050679-1.57079632675     		φ = 0.55098605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55098605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.569175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18648 KachelY 13353 0.43411656 0.55098605 24.873047 31.569175
    Oben rechts KachelX + 1 18649 KachelY 13353 0.43430831 0.55098605 24.884033 31.569175
    Unten links KachelX 18648 KachelY + 1 13354 0.43411656 0.55082267 24.873047 31.559814
    Unten rechts KachelX + 1 18649 KachelY + 1 13354 0.43430831 0.55082267 24.884033 31.559814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55098605-0.55082267) × R
    0.000163380000000046 × 6371000     		dl = 1040.89398000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55098605-0.55082267) × R
    0.000163380000000046 × 6371000     		dr = 1040.89398000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43411656-0.43430831) × cos(0.55098605) × R
    0.000191749999999991 × 0.852008711948476 × 6371000     		do = 1040.84728385815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43411656-0.43430831) × cos(0.55082267) × R
    0.000191749999999991 × 0.8520942345171 × 6371000     		du = 1040.95176158474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55098605)-sin(0.55082267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852008711948476-0.8520942345171)×R²
    abs(0.43430831-0.43411656)×8.55225686241523e-05×R²
    0.000191749999999991×8.55225686241523e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.55225686241523e-05×40589641000000     		ar = 1083466.0493959m²