Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18647 / 19119
↖ ↑ ↗
← S 28.758028°
E 24.862061°		 ← 1 070.91 m → S 28.758028°
E 24.873047°		 →
↑
1 070.90 m
↓
↑
1 070.90 m
↓
S 28.767659°
E 24.862061°		 ← 1 070.81 m →
1 146 781 m²		 S 28.767659°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569076538085938 y=0.583480834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569076538085938 × 215)
    floor (0.569076538085938 × 32768)
    floor (18647.5)     		tx = 18647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583480834960938 × 215)
    floor (0.583480834960938 × 32768)
    floor (19119.5)     		ty = 19119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18647 / 19119 ti = "15/18647/19119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18647/19119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18647 ÷ 215
    18647 ÷ 32768     		x = 0.569061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19119 ÷ 215
    19119 ÷ 32768     		y = 0.583465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569061279296875 × 2 - 1) × π
    0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.16693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.524429681843414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43392482} λ = 0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524429681843414))-π/2
    2×atan(0.591892835355508)-π/2
    2×0.534437023446713-π/2
    1.06887404689343-1.57079632675     		φ = -0.50192228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50192228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.758028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18647 KachelY 19119 0.43392482 -0.50192228 24.862061 -28.758028
    Oben rechts KachelX + 1 18648 KachelY 19119 0.43411656 -0.50192228 24.873047 -28.758028
    Unten links KachelX 18647 KachelY + 1 19120 0.43392482 -0.50209037 24.862061 -28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 18648 KachelY + 1 19120 0.43411656 -0.50209037 24.873047 -28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50192228--0.50209037) × R
    0.000168089999999954 × 6371000     		dl = 1070.90138999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50192228--0.50209037) × R
    0.000168089999999954 × 6371000     		dr = 1070.90138999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43392482-0.43411656) × cos(-0.50192228) × R
    0.000191739999999996 × 0.87665935092993 × 6371000     		do = 1070.90562000826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43392482-0.43411656) × cos(-0.50209037) × R
    0.000191739999999996 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 1070.80681600402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50192228)-sin(-0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87665935092993-0.876578468494909)×R²
    abs(0.43411656-0.43392482)×8.08824350204684e-05×R²
    0.000191739999999996×8.08824350204684e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.08824350204684e-05×40589641000000     		ar = 1146781.41505287m²