Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18647 / 13458
↖ ↑ ↗
← N 30.581179°
E 24.862061°		 ← 1 051.67 m → N 30.581179°
E 24.873047°		 →
↑
1 051.79 m
↓
↑
1 051.79 m
↓
N 30.571720°
E 24.862061°		 ← 1 051.77 m →
1 106 184 m²		 N 30.571720°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569076538085938 y=0.410720825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569076538085938 × 215)
    floor (0.569076538085938 × 32768)
    floor (18647.5)     		tx = 18647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410720825195312 × 215)
    floor (0.410720825195312 × 32768)
    floor (13458.5)     		ty = 13458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18647 / 13458 ti = "15/18647/13458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18647/13458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18647 ÷ 215
    18647 ÷ 32768     		x = 0.569061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13458 ÷ 215
    13458 ÷ 32768     		y = 0.41070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569061279296875 × 2 - 1) × π
    0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41070556640625 × 2 - 1) × π
    0.1785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.561053473153137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43392482} λ = 0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561053473153137))-π/2
    2×atan(1.75251775856947)-π/2
    2×1.05226929698254-π/2
    2.10453859396509-1.57079632675     		φ = 0.53374227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53374227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.581179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18647 KachelY 13458 0.43392482 0.53374227 24.862061 30.581179
    Oben rechts KachelX + 1 18648 KachelY 13458 0.43411656 0.53374227 24.873047 30.581179
    Unten links KachelX 18647 KachelY + 1 13459 0.43392482 0.53357718 24.862061 30.571720
    Unten rechts KachelX + 1 18648 KachelY + 1 13459 0.43411656 0.53357718 24.873047 30.571720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53374227-0.53357718) × R
    0.000165089999999979 × 6371000     		dl = 1051.78838999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53374227-0.53357718) × R
    0.000165089999999979 × 6371000     		dr = 1051.78838999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43392482-0.43411656) × cos(0.53374227) × R
    0.000191739999999996 × 0.86090919105339 × 6371000     		do = 1051.66560995199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43392482-0.43411656) × cos(0.53357718) × R
    0.000191739999999996 × 0.860993170286754 × 6371000     		du = 1051.76819692933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53374227)-sin(0.53357718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86090919105339-0.860993170286754)×R²
    abs(0.43411656-0.43392482)×8.39792333640066e-05×R²
    0.000191739999999996×8.39792333640066e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.39792333640066e-05×40589641000000     		ar = 1106183.63111791m²