Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18646 / 13463
↖ ↑ ↗
← N 30.533877°
E 24.851074°		 ← 1 052.23 m → N 30.533877°
E 24.862061°		 →
↑
1 052.30 m
↓
↑
1 052.30 m
↓
N 30.524413°
E 24.851074°		 ← 1 052.34 m →
1 107 317 m²		 N 30.524413°
E 24.862061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569046020507812 y=0.410873413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569046020507812 × 215)
    floor (0.569046020507812 × 32768)
    floor (18646.5)     		tx = 18646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410873413085938 × 215)
    floor (0.410873413085938 × 32768)
    floor (13463.5)     		ty = 13463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18646 / 13463 ti = "15/18646/13463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18646/13463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18646 ÷ 215
    18646 ÷ 32768     		x = 0.56903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13463 ÷ 215
    13463 ÷ 32768     		y = 0.410858154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56903076171875 × 2 - 1) × π
    0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410858154296875 × 2 - 1) × π
    0.17828369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.560094735160736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43373307} λ = 0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560094735160736))-π/2
    2×atan(1.75083835839299)-π/2
    2×1.05185650318874-π/2
    2.10371300637748-1.57079632675     		φ = 0.53291668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53291668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.533877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18646 KachelY 13463 0.43373307 0.53291668 24.851074 30.533877
    Oben rechts KachelX + 1 18647 KachelY 13463 0.43392482 0.53291668 24.862061 30.533877
    Unten links KachelX 18646 KachelY + 1 13464 0.43373307 0.53275151 24.851074 30.524413
    Unten rechts KachelX + 1 18647 KachelY + 1 13464 0.43392482 0.53275151 24.862061 30.524413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53291668-0.53275151) × R
    0.000165170000000048 × 6371000     		dl = 1052.2980700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53291668-0.53275151) × R
    0.000165170000000048 × 6371000     		dr = 1052.2980700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43373307-0.43392482) × cos(0.53291668) × R
    0.000191749999999991 × 0.861328923662846 × 6371000     		do = 1052.23322030673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43373307-0.43392482) × cos(0.53275151) × R
    0.000191749999999991 × 0.861412826155277 × 6371000     		du = 1052.33571888466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53291668)-sin(0.53275151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861328923662846-0.861412826155277)×R²
    abs(0.43392482-0.43373307)×8.3902492431176e-05×R²
    0.000191749999999991×8.3902492431176e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.3902492431176e-05×40589641000000     		ar = 1107316.91896454m²