Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18645 / 13497
↖ ↑ ↗
← N 30.211608°
E 24.840088°		 ← 1 055.71 m → N 30.211608°
E 24.851074°		 →
↑
1 055.80 m
↓
↑
1 055.80 m
↓
N 30.202113°
E 24.840088°		 ← 1 055.81 m →
1 114 672 m²		 N 30.202113°
E 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569015502929688 y=0.411911010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569015502929688 × 215)
    floor (0.569015502929688 × 32768)
    floor (18645.5)     		tx = 18645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411911010742188 × 215)
    floor (0.411911010742188 × 32768)
    floor (13497.5)     		ty = 13497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18645 / 13497 ti = "15/18645/13497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18645/13497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18645 ÷ 215
    18645 ÷ 32768     		x = 0.569000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13497 ÷ 215
    13497 ÷ 32768     		y = 0.411895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569000244140625 × 2 - 1) × π
    0.13800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43354132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411895751953125 × 2 - 1) × π
    0.17620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.553575316812408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43354132} λ = 0.43354132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553575316812408))-π/2
    2×atan(1.73946103772819)-π/2
    2×1.04904418130471-π/2
    2.09808836260942-1.57079632675     		φ = 0.52729204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43354132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.840088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52729204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.211608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18645 KachelY 13497 0.43354132 0.52729204 24.840088 30.211608
    Oben rechts KachelX + 1 18646 KachelY 13497 0.43373307 0.52729204 24.851074 30.211608
    Unten links KachelX 18645 KachelY + 1 13498 0.43354132 0.52712632 24.840088 30.202113
    Unten rechts KachelX + 1 18646 KachelY + 1 13498 0.43373307 0.52712632 24.851074 30.202113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52729204-0.52712632) × R
    0.000165719999999925 × 6371000     		dl = 1055.80211999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52729204-0.52712632) × R
    0.000165719999999925 × 6371000     		dr = 1055.80211999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43354132-0.43373307) × cos(0.52729204) × R
    0.000191749999999991 × 0.864172869407675 × 6371000     		do = 1055.70749605349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43354132-0.43373307) × cos(0.52712632) × R
    0.000191749999999991 × 0.864256247023457 × 6371000     		du = 1055.8093534215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52729204)-sin(0.52712632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864172869407675-0.864256247023457)×R²
    abs(0.43373307-0.43354132)×8.33776157823651e-05×R²
    0.000191749999999991×8.33776157823651e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.33776157823651e-05×40589641000000     		ar = 1114671.98559604m²