Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18644 / 13654
↖ ↑ ↗
← N 28.709861°
E 24.829101°		 ← 1 071.46 m → N 28.709861°
E 24.840088°		 →
↑
1 071.47 m
↓
↑
1 071.47 m
↓
N 28.700225°
E 24.829101°		 ← 1 071.55 m →
1 148 090 m²		 N 28.700225°
E 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568984985351562 y=0.416702270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568984985351562 × 215)
    floor (0.568984985351562 × 32768)
    floor (18644.5)     		tx = 18644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416702270507812 × 215)
    floor (0.416702270507812 × 32768)
    floor (13654.5)     		ty = 13654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18644 / 13654 ti = "15/18644/13654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18644/13654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18644 ÷ 215
    18644 ÷ 32768     		x = 0.5689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13654 ÷ 215
    13654 ÷ 32768     		y = 0.41668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5689697265625 × 2 - 1) × π
    0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41668701171875 × 2 - 1) × π
    0.1666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523470943851013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43334957} λ = 0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523470943851013))-π/2
    2×atan(1.68787601703267)-π/2
    2×1.03593896314899-π/2
    2.07187792629797-1.57079632675     		φ = 0.50108160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50108160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.709861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18644 KachelY 13654 0.43334957 0.50108160 24.829101 28.709861
    Oben rechts KachelX + 1 18645 KachelY 13654 0.43354132 0.50108160 24.840088 28.709861
    Unten links KachelX 18644 KachelY + 1 13655 0.43334957 0.50091342 24.829101 28.700225
    Unten rechts KachelX + 1 18645 KachelY + 1 13655 0.43354132 0.50091342 24.840088 28.700225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50108160-0.50091342) × R
    0.000168179999999962 × 6371000     		dl = 1071.47477999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50108160-0.50091342) × R
    0.000168179999999962 × 6371000     		dr = 1071.47477999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43334957-0.43354132) × cos(0.50108160) × R
    0.000191749999999991 × 0.877063502005237 × 6371000     		do = 1071.455198792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43334957-0.43354132) × cos(0.50091342) × R
    0.000191749999999991 × 0.877144278976417 × 6371000     		du = 1071.55387911049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50108160)-sin(0.50091342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877063502005237-0.877144278976417)×R²
    abs(0.43354132-0.43334957)×8.07769711800299e-05×R²
    0.000191749999999991×8.07769711800299e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.07769711800299e-05×40589641000000     		ar = 1148090.09284756m²