Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18643 / 13461
↖ ↑ ↗
← N 30.552800°
E 24.818115°		 ← 1 052.03 m → N 30.552800°
E 24.829101°		 →
↑
1 052.04 m
↓
↑
1 052.04 m
↓
N 30.543339°
E 24.818115°		 ← 1 052.13 m →
1 106 833 m²		 N 30.543339°
E 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568954467773438 y=0.410812377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568954467773438 × 215)
    floor (0.568954467773438 × 32768)
    floor (18643.5)     		tx = 18643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410812377929688 × 215)
    floor (0.410812377929688 × 32768)
    floor (13461.5)     		ty = 13461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18643 / 13461 ti = "15/18643/13461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18643/13461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18643 ÷ 215
    18643 ÷ 32768     		x = 0.568939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13461 ÷ 215
    13461 ÷ 32768     		y = 0.410797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568939208984375 × 2 - 1) × π
    0.13787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43315782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410797119140625 × 2 - 1) × π
    0.17840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.560478230357697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43315782} λ = 0.43315782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560478230357697))-π/2
    2×atan(1.75150992525719)-π/2
    2×1.05202164485028-π/2
    2.10404328970055-1.57079632675     		φ = 0.53324696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43315782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53324696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.552800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18643 KachelY 13461 0.43315782 0.53324696 24.818115 30.552800
    Oben rechts KachelX + 1 18644 KachelY 13461 0.43334957 0.53324696 24.829101 30.552800
    Unten links KachelX 18643 KachelY + 1 13462 0.43315782 0.53308183 24.818115 30.543339
    Unten rechts KachelX + 1 18644 KachelY + 1 13462 0.43334957 0.53308183 24.829101 30.543339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53324696-0.53308183) × R
    0.000165130000000069 × 6371000     		dl = 1052.04323000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53324696-0.53308183) × R
    0.000165130000000069 × 6371000     		dr = 1052.04323000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43315782-0.43334957) × cos(0.53324696) × R
    0.000191749999999991 × 0.861161078686129 × 6371000     		do = 1052.02817429526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43315782-0.43334957) × cos(0.53308183) × R
    0.000191749999999991 × 0.861245007836189 × 6371000     		du = 1052.13070543919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53324696)-sin(0.53308183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861161078686129-0.861245007836189)×R²
    abs(0.43334957-0.43315782)×8.3929150059836e-05×R²
    0.000191749999999991×8.3929150059836e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.3929150059836e-05×40589641000000     		ar = 1106833.05465053m²