Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18641 / 22801
↖ ↑ ↗
← S 57.427210°
E 24.796143°		 ← 657.69 m → S 57.427210°
E 24.807129°		 →
↑
657.61 m
↓
↑
657.61 m
↓
S 57.433124°
E 24.796143°		 ← 657.59 m →
432 475 m²		 S 57.433124°
E 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568893432617188 y=0.695846557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568893432617188 × 215)
    floor (0.568893432617188 × 32768)
    floor (18641.5)     		tx = 18641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.695846557617188 × 215)
    floor (0.695846557617188 × 32768)
    floor (22801.5)     		ty = 22801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18641 / 22801 ti = "15/18641/22801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18641/22801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18641 ÷ 215
    18641 ÷ 32768     		x = 0.568878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22801 ÷ 215
    22801 ÷ 32768     		y = 0.695831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568878173828125 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.695831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.39166259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.2304443394476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43277433} λ = 0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2304443394476))-π/2
    2×atan(0.292162729408846)-π/2
    2×0.284251219647811-π/2
    0.568502439295622-1.57079632675     		φ = -1.00229389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00229389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.427210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18641 KachelY 22801 0.43277433 -1.00229389 24.796143 -57.427210
    Oben rechts KachelX + 1 18642 KachelY 22801 0.43296608 -1.00229389 24.807129 -57.427210
    Unten links KachelX 18641 KachelY + 1 22802 0.43277433 -1.00239711 24.796143 -57.433124
    Unten rechts KachelX + 1 18642 KachelY + 1 22802 0.43296608 -1.00239711 24.807129 -57.433124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00229389--1.00239711) × R
    0.000103219999999959 × 6371000     		dl = 657.614619999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00229389--1.00239711) × R
    0.000103219999999959 × 6371000     		dr = 657.614619999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43277433-0.43296608) × cos(-1.00229389) × R
    0.000191749999999991 × 0.538370644167406 × 6371000     		do = 657.694709962654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43277433-0.43296608) × cos(-1.00239711) × R
    0.000191749999999991 × 0.538283656962883 × 6371000     		du = 657.588442979361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00229389)-sin(-1.00239711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538370644167406-0.538283656962883)×R²
    abs(0.43296608-0.43277433)×8.69872045226039e-05×R²
    0.000191749999999991×8.69872045226039e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.69872045226039e-05×40589641000000     		ar = 432474.715790913m²