Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18641 / 14801
↖ ↑ ↗
← N 69.746650°
W 77.601929°		 ← 211.44 m → N 69.746650°
W 77.596436°		 →
↑
211.45 m
↓
↑
211.45 m
↓
N 69.744748°
W 77.601929°		 ← 211.46 m →
44 711 m²		 N 69.744748°
W 77.596436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.284446716308594 y=0.225852966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.284446716308594 × 216)
    floor (0.284446716308594 × 65536)
    floor (18641.5)     		tx = 18641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225852966308594 × 216)
    floor (0.225852966308594 × 65536)
    floor (14801.5)     		ty = 14801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18641 / 14801 ti = "16/18641/14801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18641/14801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18641 ÷ 216
    18641 ÷ 65536     		x = 0.284439086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14801 ÷ 216
    14801 ÷ 65536     		y = 0.225845336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.284439086914062 × 2 - 1) × π
    -0.431121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.35440916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225845336914062 × 2 - 1) × π
    0.548309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7225645509471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35440916} λ = -1.35440916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7225645509471))-π/2
    2×atan(5.59886865225001)-π/2
    2×1.39405250257616-π/2
    2.78810500515232-1.57079632675     		φ = 1.21730868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35440916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.601929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21730868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.746650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18641 KachelY 14801 -1.35440916 1.21730868 -77.601929 69.746650
    Oben rechts KachelX + 1 18642 KachelY 14801 -1.35431329 1.21730868 -77.596436 69.746650
    Unten links KachelX 18641 KachelY + 1 14802 -1.35440916 1.21727549 -77.601929 69.744748
    Unten rechts KachelX + 1 18642 KachelY + 1 14802 -1.35431329 1.21727549 -77.596436 69.744748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21730868-1.21727549) × R
    3.31899999999052e-05 × 6371000     		dl = 211.453489999396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21730868-1.21727549) × R
    3.31899999999052e-05 × 6371000     		dr = 211.453489999396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35440916--1.35431329) × cos(1.21730868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34617191559734 × 6371000     		do = 211.437572364323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35440916--1.35431329) × cos(1.21727549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346203053305334 × 6371000     		du = 211.456590895551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21730868)-sin(1.21727549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34617191559734-0.346203053305334)×R²
    abs(-1.35431329--1.35440916)×3.11377079939001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11377079939001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11377079939001e-05×40589641000000     		ar = 44711.2233647474m²