Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18641 / 13787
↖ ↑ ↗
← N 27.420538°
E 24.796143°		 ← 1 084.39 m → N 27.420538°
E 24.807129°		 →
↑
1 084.41 m
↓
↑
1 084.41 m
↓
N 27.410786°
E 24.796143°		 ← 1 084.48 m →
1 175 971 m²		 N 27.410786°
E 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568893432617188 y=0.420761108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568893432617188 × 215)
    floor (0.568893432617188 × 32768)
    floor (18641.5)     		tx = 18641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420761108398438 × 215)
    floor (0.420761108398438 × 32768)
    floor (13787.5)     		ty = 13787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18641 / 13787 ti = "15/18641/13787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18641/13787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18641 ÷ 215
    18641 ÷ 32768     		x = 0.568878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13787 ÷ 215
    13787 ÷ 32768     		y = 0.420745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568878173828125 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420745849609375 × 2 - 1) × π
    0.15850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497968513253143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43277433} λ = 0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497968513253143))-π/2
    2×atan(1.64537531507241)-π/2
    2×1.02468750009547-π/2
    2.04937500019094-1.57079632675     		φ = 0.47857867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47857867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.420538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18641 KachelY 13787 0.43277433 0.47857867 24.796143 27.420538
    Oben rechts KachelX + 1 18642 KachelY 13787 0.43296608 0.47857867 24.807129 27.420538
    Unten links KachelX 18641 KachelY + 1 13788 0.43277433 0.47840846 24.796143 27.410786
    Unten rechts KachelX + 1 18642 KachelY + 1 13788 0.43296608 0.47840846 24.807129 27.410786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47857867-0.47840846) × R
    0.000170210000000004 × 6371000     		dl = 1084.40791000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47857867-0.47840846) × R
    0.000170210000000004 × 6371000     		dr = 1084.40791000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43277433-0.43296608) × cos(0.47857867) × R
    0.000191749999999991 × 0.887650367209776 × 6371000     		do = 1084.38852886032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43277433-0.43296608) × cos(0.47840846) × R
    0.000191749999999991 × 0.887728739119416 × 6371000     		du = 1084.48427106124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47857867)-sin(0.47840846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887650367209776-0.887728739119416)×R²
    abs(0.43296608-0.43277433)×7.8371909640218e-05×R²
    0.000191749999999991×7.8371909640218e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.8371909640218e-05×40589641000000     		ar = 1175971.41284829m²