Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18640 / 22800
↖ ↑ ↗
← S 57.421295°
E 24.785156°		 ← 657.80 m → S 57.421295°
E 24.796143°		 →
↑
657.74 m
↓
↑
657.74 m
↓
S 57.427210°
E 24.785156°		 ← 657.69 m →
432 628 m²		 S 57.427210°
E 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568862915039062 y=0.695816040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568862915039062 × 215)
    floor (0.568862915039062 × 32768)
    floor (18640.5)     		tx = 18640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.695816040039062 × 215)
    floor (0.695816040039062 × 32768)
    floor (22800.5)     		ty = 22800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18640 / 22800 ti = "15/18640/22800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18640/22800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18640 ÷ 215
    18640 ÷ 32768     		x = 0.56884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22800 ÷ 215
    22800 ÷ 32768     		y = 0.69580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43258258} λ = 0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.23025259184912))-π/2
    2×atan(0.292218756281913)-π/2
    2×0.284302839457417-π/2
    0.568605678914833-1.57079632675     		φ = -1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18640 KachelY 22800 0.43258258 -1.00219065 24.785156 -57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 18641 KachelY 22800 0.43277433 -1.00219065 24.796143 -57.421295
    Unten links KachelX 18640 KachelY + 1 22801 0.43258258 -1.00229389 24.785156 -57.427210
    Unten rechts KachelX + 1 18641 KachelY + 1 22801 0.43277433 -1.00229389 24.796143 -57.427210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00219065--1.00229389) × R
    0.00010324000000006 × 6371000     		dl = 657.742040000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00219065--1.00229389) × R
    0.00010324000000006 × 6371000     		dr = 657.742040000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43258258-0.43277433) × cos(-1.00219065) × R
    0.000191749999999991 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 657.800990526974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43258258-0.43277433) × cos(-1.00229389) × R
    0.000191749999999991 × 0.538370644167406 × 6371000     		du = 657.694709962654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00219065)-sin(-1.00229389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.538370644167406)×R²
    abs(0.43277433-0.43258258)×8.69983215751047e-05×R²
    0.000191749999999991×8.69983215751047e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.69983215751047e-05×40589641000000     		ar = 432628.413209917m²