Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1864 / 872
↖ ↑ ↗
← N 71.300793°
W 16.171875°		 ← 3 133.22 m → N 71.300793°
W 16.083984°		 →
↑
3 135.55 m
↓
↑
3 135.55 m
↓
N 71.272594°
W 16.171875°		 ← 3 137.77 m →
9 831 509 m²		 N 71.272594°
W 16.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4552001953125 y=0.2130126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4552001953125 × 212)
    floor (0.4552001953125 × 4096)
    floor (1864.5)     		tx = 1864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2130126953125 × 212)
    floor (0.2130126953125 × 4096)
    floor (872.5)     		ty = 872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1864 / 872 ti = "12/1864/872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1864/872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1864 ÷ 212
    1864 ÷ 4096     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 872 ÷ 212
    872 ÷ 4096     		y = 0.212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212890625 × 2 - 1) × π
    0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80396140650195))-π/2
    2×atan(6.07366010773167)-π/2
    2×1.40761496122588-π/2
    2.81522992245175-1.57079632675     		φ = 1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1864 KachelY 872 -0.28225246 1.24443360 -16.171875 71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 1865 KachelY 872 -0.28071848 1.24443360 -16.083984 71.300793
    Unten links KachelX 1864 KachelY + 1 873 -0.28225246 1.24394144 -16.171875 71.272594
    Unten rechts KachelX + 1 1865 KachelY + 1 873 -0.28071848 1.24394144 -16.083984 71.272594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24443360-1.24394144) × R
    0.000492160000000075 × 6371000     		dl = 3135.55136000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24443360-1.24394144) × R
    0.000492160000000075 × 6371000     		dr = 3135.55136000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28071848) × cos(1.24443360) × R
    0.00153397999999999 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 3133.21830536437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28071848) × cos(1.24394144) × R
    0.00153397999999999 × 0.32106602036008 × 6371000     		du = 3137.77390827305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24443360)-sin(1.24394144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.32106602036008)×R²
    abs(-0.28071848--0.28225246)×0.000466142347724408×R²
    0.00153397999999999×0.000466142347724408×6371000²
    0.00153397999999999×0.000466142347724408×40589641000000     		ar = 9831509.28046629m²